树上路径过程的随机路径条件概率的强极限定理

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1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)NO．2树上路径过程的随机路径条件概率的强极限定理韩大钊，石志岩，杨卫国(江苏大学理学院，江苏镇江212013)摘要：本文研究了树卜路径过程随机转移概率和状态序偶出现频率的强极限定理．通过利用若干重要不等式，获得了树上路径过程的随机路径条件概率用不等式表示的几何平均强极限定理以及树路径过程关于状态序偶出现频率的用不等式表示的强极限定理，所得结果推广了树上马氏链及非齐次马氏链中的结果．关键词：路径过程；随机路径条件概率；几何平均MR(2010)主题分类号：60F15中图分类号：0211．4文献标识码：A文章编号：0255—7797(

2、2015)02．0462—071引言设是一个无限树，，t(≠)是中任两个顶点，则存在唯一的以到t的路径，=1，2，⋯，=t，其中l，2，⋯，互不相同且Zi，Zi+1为相邻两顶点，m一1称为o-到t的距离．为给中的顶点编号，我们选定一个顶点作为根顶点(简称根)，并记之为O．如果一个顶点t位于根O到顶点的唯一路径上，则记t．若，t为T上不同的两个顶点，记At为同时满足Att和仃At且离根O最远的顶点．本文中表示任意局部有限无穷树．若t为中的任一顶点，记为顶点t到根O的距离．若=n，则t位于树的第佗层．记(n)表示从根O到第n层所有顶点的子图，L表示第佗层所有顶点的集合，nm表示含有的从m层到n

3、层所有顶点的集合．对于任一个顶点t，从根O到顶点t的路径上存在唯一一个离顶点t最近的顶点称为t的父代，记为1，且称t为1的子代．1的父代记为2t，(n一1)的父代记为t，也称nt为t的第n代父代．令XA=f，t∈，A为xA的实现，且记1A1为中顶点的个数．定义1设为局部有限无穷树，且S={1，2，⋯，m．令Pf=(只(x~lxl，X2，⋯，。))，(tl1，X2，⋯，。)0其中t∈＼{0)，Xt，l，2一，X。∈S．如果∑(tIx1，z2一，。)：1，则称Pt为树Tt∈S上路径条件概率矩阵族．定义2设有限状态空间S：{1，2，⋯，-q，{五，t∈)为定义在概率空间(【2，，P)上的S值变量

4、族．设P=(p()，∈^5，)，(1)收稿日期：2012—09—28接收日期：2013—07-02基金项目：国家自然科学基金(11226210；11071104)；江苏大学高级人才启动基金(1lJDGll6)作者简介：韩大钊(1985)，男，山东济宁，硕士，主要研究方向：概率论极限理论．通讯作者：石志岩．韩大钊等：树上路径过程的随机路径条件概率的强极限定理=(Pt(tIx1，X2，⋯，X。))，Xt，Xl，X2，⋯，D∈S，t∈＼{0)分别为S上的概率分布和路径条件概率矩阵族．如果对于任何顶点(t≠0)，P(Xt=xtIX1=z=X2一，=X。和满足tA1t)=P(Xt=Xt『X1：Xl，

5、X2=X2，⋯，Xo=x。)=尸t(x~lxlt，X2一，X。)，Vxt，Xl。，X2一，X。∈S，且JF)(Xo：X)=p()，Vx∈S，(4)则称{Xt，t∈，为具有初始分布(1)和路径条件概率矩阵族(2)的树指标值路径过程．注1如果树上的每个顶点仅与其父代有关，而与其他顶点无关则上述树上路径过程就是树指标非齐次马氏链．对于树指标非齐次马氏链的详细定义，读者可参考文献f141．特别地，如果树指标非齐次马氏链的每个顶点只有一个子代，此时树指标马氏链即为非齐次马氏链．设(Ix1，X2一，。)=Pt(=x~lX1=1，X2=X2一，X。：Xo)，则称(lx1，一，)为树上路径过程的随机路径条

6、件概率．Benjamini和Peres[]给出了树指标马氏链的定义并研究了其常返性和射线常返性．Berger和叶中行【。】研究了齐次树图上平稳随机场熵率的存在性．叶中行和Berger[3,4]利用Pemantle在文献【5]中的结果及组合方法，在依概率收敛意义下研究了齐次树图上PPG不变和遍历随机场的Shannon．McMillan定理．杨卫国和刘文[6】研究了齐次树图上马氏链场(这实际上是树指标马氏链和PPG不变随机场的特殊情形1状态发生频率的强大数定律．杨卫国[7181研究了齐次树上齐次和非齐次马氏链的状态发生频率的强大数定律．近年来，刘文[9,10，¨1应用了条件矩母函数的方法，研究

7、了随机转移概率的若干极限性质和调和平均．石志岩和杨卫国【l2]研究了树上路径过程随机条件概率的极限性质．王华山和杨卫国、石志岩[161研究了树指标非齐次马氏链随机转移概率的几何平均强极限定理．设{Xt，t∈T1-为在s中取值的树指标随机过程，”为xT的实现．记P(x)=P(X’：XT(n))当树为树指标路径过程时，易知f(x‘”)=P(X‘⋯=xT(n))=P(Xo：。)Ⅱ㈤＼{。)只(Lx2一，。)．(5)令厶()=一