受轴向基础激励悬臂梁非线性动力学建模及周期振动

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第2撵年薯l2月ACTAME固CH体AN力ICA学S学OLI报DASINICADVeoc1em．2b3eNro．42002受轴向基础激励悬臂梁非线性动力学建模及周期振动冯志华胡海岩(南京航空航天大学振动工程研究所，南京，210016)摘要针对轴向基础激励的悬臂梁，基于Kane方程建立了含几何非线性及惯性非线性相互耦合项的动力学方程．采用多尺度法研究了梁的主参激共振响应．研究结果表明，梁的非线性惯性项具有软特性效应，对系统二阶及以上模态产生显著影响；而梁的非线性几何项具有硬特

2、性效应，主宰了系统的一阶模态响应．将文中结果与同类研究进行比较，取得了很好的一致性，从一个侧面验证了建模方法的正确性．关键词悬臂梁，参激激励，动力学建模，非线性动力学，主参激共振1引言受基础激励的弹性结构在工程中随处可见．许多学者曾致力于该领域的研究，所得成果颇丰，特别是对轴向基础激励悬臂梁的非线性动力学的研究，已具有相当深度．如不考虑非线性惯性及非线性弯曲曲率问题，受轴向基础简谐激励悬臂梁的动力学方程可由标准的Mathieu方程(组)来进行描述．Evensen等人⋯和Nayfeh等人_2在建立上述梁的动力学方程时考虑了

3、梁的非线性惯性项，但对梁的弯曲曲率则作了线性化处理．CrespodaSilva等人[3研究结果表明，通常被忽略的由非线性弯曲曲率引起的非线性项与非线性惯性项同阶次，并会对系统响应产生显著的影响．Nayfeh等人_5基于文[3]所得方程，经研究发现梁的第一阶模态的主参激共振幅频响应曲线呈现硬特性，而二阶及以上模态却呈软特性．与此同时，Zavodney等人_6直接采用Newton第二运动定律，建立了带集中质量细长梁受轴向基础激励时的非线性偏微分运动方程，并与文[3]所得方程进行了比较，结果表明两者是一致的．Kar等人_7在文

4、[6]的基础上研究了该类梁在第一阶模态主参激共振与一、二阶模态间3：1内共振联合作用下的一些非线性动力行为．近期，Anderson等人_8对轴向激励悬臂梁的动力响应进行了实验测定，以文[3]所得公式为理论依据，并对阻尼项进行了适当的修改，研究结果表明实验结果与理论预测间具有较好的一致性，这从一个方面检验了文『3]所导出公式的正确性，另一方面也验证了文[5]所得结论与实验的一致性．在另一研究领域，Kane等人_9采用Kane方程并结合假设模态，系统地建立了非惯性场中梁的动力学方程．Yoo等人_1。。对文[9]的建模方法中个

5、别变量进行了更规范化的选取，使得建模结果更趋简单．Hyun等人_l¨在文[10]的基础上详细研究了受轴向基础简谐激励悬臂梁平凡响应稳定性问题等．上述文献在建模过程中对广义惯性力及广义作用力进行了线性国防基础科研计划(10172005)项目．2001．10．16收到第1稿，2OO2-04-09收到修改稿维普资讯http://www.cqvip.com·374·固体力学学报2002年第23卷化处理，故无法研究更复杂的非线性动力行为．最近，作者采用上述文献的建模方法，在保留广义惯性力及广义作用力非线性项的基础上，得出了大范围直

6、线运动梁的动力学运动方程，并着重分析了窄带随机参激激励梁的稳定性与随机分叉问题_l、以及含内共振梁的参激振动稳定性I1等．由于相关研究极少，如何验证这些研究中的建模结果正确性是一遗留问题．作者基于文[12，13]的建模理论，建立了含耦合的几何非线性及惯性非线性项轴向基础激励悬臂梁动力学方程，利用多尺度法研究了系统的主参激共振问题，所得结果与文[5，8]等比较，具有很好的一致性，为这类问题的研究提供了一种建模方法，并从一个侧面验证了文l12，13】的建模正确性．2运动微分方程图1为受轴向基础A激励悬臂梁模型．根据文[12，

7、13]的建模方法，假设匀质梁B变形前所取与其轴线垂直截面变形后仍与变形后轴线垂直，梁未变形前相对参考坐标系R。单位矢量。、分别平行、垂直其轴线．在未变形梁轴线离点0距离处取点C，变形后该点移至C，相对弹性变形向量为．取梁上与轴线垂直且包含C点的微段，图1受轴向基础激励的悬臂梁则C点在Newton系中相对原点的速度为=(+吐1)l+吐22(1)只考虑梁的拉伸与弯曲变形．有+s=I~／(1+／~1,B)+(／Z2．B)dp(2)假设梁为中等变形，对式(2)进行二项式展开并保留至0(u)、0(s)及0(M2)项，最．．终有u-

8、l=s一一专f(／Z2,B)dp(3)．J。L‘(3)经简化，梁的轴向力P及弯矩M分别为P=EAos(4)M=，1—2s+12)一跳．(5)式中E、，及A。分别为材料弹性模量、梁的截面惯性矩及截面积．在建立式(5)过程中考虑了梁横向变形的非平坦性及纵向变形对横向变形的影响．若不考虑梁的纵向变形，则式(5)与文E6]中