关于FCC与BCC晶面间距

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1、北京航空航天大学学报JournalofBeijingUnlvcrsityofAeronauticsandAstronautics1991年第1期№l1991关于FCC和BCC点阵晶面间距计算式的证明宫秀敏朱勇周一志(武仅工学院)摘要：复杂立方点阵晶面间距的计算式只与晶面指数的奇偶性有关，本文从数学上证明了这一规律的正确性和普适性关键词：面心点阵，体心点阵，面问距，晶面指教0前言经几何学推导，人们得出了简单立方点碎的面间距计算式为娃r南n然而元素周期表中的大多数金属元素具有筚雪：c‘五5三掣阵，在计算这些复杂立方点阵的面间距时，要考虑由体心和面心原子组魂的附加娘子面根据文献[1，2]及本作者在长

2、期实践中进行的对比分析计算得出；上述点阵的面间距计算式只与晶面指数的奇偶性有关，而与由体心和面心原子所产生的晶体几何学上的复杂性无关。在Bcc点阵中，晶面的三个指数为一偶二奇，即^++偶数时，面间距计算式的形式与简单立方点阵相同(式1)；当三个指数为二偶一奇或都是奇数，即++l=奇数时，则面间距汁算式为地=寺—√=+=+=；(2)在FCC点阵中，当晶面的三个指数都是奇数时，其面间距计算式的形式与简单立方点阵相同(式1)；当三个指数为二偶一奇或一偶二奇时，则面间距计算式为—2L1干下(3)本文旨在通过数学证明，确认FCC和BCC点阵的晶面间距计算规律的正确性和普适性。本文于1990年8月11日收

3、到*本文作者宫秀敏、朱勇、舟一卷同志系植友·35·lFCC和BCC点阵晶面间距计算规律的数学证明前述FCC和BCC晶面间距的计算规律可以借助作图法通过大量的实际计算而得出，但是鉴于用作图法求高指数晶面的面间距时，操作过程较复杂．并且准确性和可靠性差，因此我们湎过数学方法证明上述规律的可靠性1．1FCC点阵面间距计算觏律的证明以晶胞的三个晶轴为z,y，：轴，以晶胞的边长为坐标轴上的单位长度，则晶体中位于顶角处原子的坐标0，。=)必有z，，为整数；反之，任意三个整数，。=构成的坐标0，，=)的相应位置必是一个顶角原子。位于晶胞各面的面心原子的坐标(z。，z)中恰好有一个是整数，而其它两个是分母为2

4、的既约分数I反之，任何具有这种特性的三数z，，所构成的坐标(z，，)必是一个面心原子的位置。对于任何一个晶面指数0l1)都存在着三种情况：①^。．1均为奇数I②^，1．f中有两个奇数；③^，I，z中有一个奇数。因晶面0)在三个晶轴z，．=上的截距必定形似÷．÷。÷0为任意实数)这时相应晶面的方程为r÷+÷+÷=百T丁即h+白+k=c(d)特别c一1必在其中若方程(d)确定的晶面中有顶角原子，则c必须是整数。若由方程(4)确定的晶亩中有面心原子，如[(一十1)／2，(2Z一+】)／2．a]，“，，b为整数。则它应满足方程。即^．呈+．+地：(hzj+l+lb)+=c‘①当^，I，l均为奇数时．c

5、必须是整数。②当^，I，l中有两个奇数或一个奇数时，c可能是整数，也可能是分母为2的既约分数。(1)若^，l，l均为奇数，这时晶面方程必形似h+姆+==，日On是整数)(5)性质I对任何一个整数m，平面方程(5)必是晶面方程。证明因h+崎+k=i是晶面方程，对于在这一晶面上的任一原子(轧，如，)有h0+I0+‰=l这个原子可能是顶角处原子，也可能是面心原子，^(o)+t(myo)+l(o)一，凡_当m是偶数时，(o，m，％)必定是顶角原子I当m是奇数时，若(。n)是顶角原子，则(mz，m，。，m)同样是顶角原子。若(zo，’z口)是面心原子，则(mzo，o，mb)同样是面一tL"原子。·36·

6、所以方程(5)是晶面方程。这时晶面(^t‘)的全体晶面方程形似++一m(n取一切整数)而任意两个相邻的晶面+蛐+把=m与+钿+扛=m+l的晶面间距了(Ⅱ为点阵常数(2)若，t，三个中有两个奇牧或其有一个奇数性质2对于任何一个整数m．方程h+幻士—m(5)是晶面方程。证明因^￡+姆+Iz=m是品面方程．若①顶角处原子(，)在这晶面上，与上面同样可得(一．，m)是顶角处原子，且在平面h+坷+k—m上，所以这个平面是品面；②括+姊+k=1上只有面心原子，设(zD，o．zD)是其中的一个面心原子(‰t舢．中一个是整数，其它两个是分母为2的既约分数)，则有^(，o)+t(m)l(mzD—当m为偶数时，(

7、mz。，哪o，愉)是顶角处原子，所以方程(6)是晶面方程。若m为奇数时，mm如rnz~)仍为面心原子，所以方程(6)仍是晶面方程。证毕性质3对于任何一个整数m，方程船+衄+lz：(7)是晶面方程。证明④若，，f中有两个奇数，设，是奇数，l是偶数，则面心原子e专，1，专j在品面缸+幻+=型L上。假设(2m+1)一(2t++f)一2，由性质2知，+姆+扛一n是晶面方程设原子(轧，，却)在晶面上，则不论