偏序结构上的某些弱附加关系与弱连续性

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1、y931189辽宁师范大学硕士研究生学位论文论文题目：偏序结构上的某些弱附加关系与弱连续性研究生：徐静君指导教师：谢琳学科专业：基础数学年级：2003级辽宁师范大学研究生部2006年5月偏序结构上的某些弱附加关系与弱连续性研究生：徐静君指导教．师：谢琳学科专业：基础数学摘要完备格上的附加关系在连续格的研究中起着非常重要的作用．首先，基于完备格上的附加关系，本文将附加关系推广到定向完备偏序集中，并在定向完备偏序集中引入了某些弱附加关系，在此基础上定义了C一连续偏序集、DL连续偏序集、B连续偏序集和F一连续偏序集，研究_，这些偏序集的结构性质和范畴性质，对每一类偏序集都给出了具

2、体例子，并进一步讨论了这几类偏序集之间的关系及它们与传统连续偏序集之间的关系．其次，将以上几种弱附加关系捧广到格中，由此定义了C，连续格、D-连续格、B连续格和F一连续格，对每一类格都给出了具体例子，接下来简单讨论了这些格的结构性质和范畴性质并进一‘步阐述了这几种格之间的关系及它们与传统连续格之间的联系．关键词连续：连续偏序集：连续格．1引言连续格理论是在70年代初期由几位在不同领域中1：作的数学家和计算机科学家几乎I刊时建立与发展的，其中D．S．scott和Y．L．Ershow在程序语言语义学和递归函数理论方面的工作被公认为是连续格理论f以及一般Dom撕n理论)的奠基性工

3、作．由于计算机科学应用的推动，从80年代开始，连续偏序集f即连续Domain)开始逐渐成为Domain理论【1】的主要研究对象．连续偏序集和连续格理论处于数学f拓扑与LocaJe理沦l“、范畴论、泛代数、泛函分析、分析与非线性动力系统)、逻辑吲(直觉主义逻辑、线性逻辑、模态逻辑、时序逻辑)和理论计1偏序结构上的某些弱附加关系与弱连续性2预备知识在这部分中，我们主要介绍一般文献【4]【5】中连续偏序集与连续格及附加关系的定义，以及连续偏序集与连续格的结构性质及相关的定理．2．1连续偏序集2．1．1定义【5J设∽，!)是定向完备的偏序集，则A上的waybelow关系《定义如下：

4、vn．6∈A，n《6咎对A的任意定向子集S，6≤vS辛js∈Sn!s．称』。={6I6《Ⅱ}为口的w科be】ow下集．2．1．2定义【5】设A是定向完稀偏序集，n∈A，若n《n，则称n是A中的紧元．2．1．3定义【5】设A是定向完备的偏序集，若(1)Vo∈A，0o∈』df(A)；(2)Vo∈A，o=V0a，则称A为连续偏序集．注：有些文献(尤其是存Domain理论中)在定义连续偏序集时并不要求定向完备性，而仅要求在定义2．1．3巾出现的定向子集有并．本文所涉及的连续偏序集均指连续dom8in即连续dcpo．2．1．4定理㈣(捅值性质)设A是连续偏序集，o，b∈A，则存在c∈

5、J4，使得n《c《6．证明记s={d∈A『jc∈A，d《c《”．南n《6与』n∈』df(A)可知，存在d∈A满足d《口《b，从而d∈s，于是S≠g．以下证明S是定向的．任取d1，d2∈S，则存存cl，02∈A，使得d1《01《b，d2《02《6偏序结构上的某些弱附加关系与弱连续性因为cl，c2∈i6．￡6是定向的，从而存在c3∈06，使得dl《01《白，d2《c2《03由此可知，d1，d2∈』c3．因而由0c3也是定向的可知，存在d3∈￡c3满足d1≤如id2兰如．但是d3《c3《b．所以，d3∈．S即S为A的定向子集．压j为Vs=V{d∈AI了c∈』4，d《c《6}=V{

6、V‘$cIc《b)=v』6=6．并且n《6，于是存在d∈S，使得o≤d．从而由S的定义可知存在c∈A，满足d《c《6进而有n《c《6．2．1．5定义㈣设A是定向完备偏序集，n∈A，D∈A是定向子集，若(1)D∈$Ⅱ；(2)VD=Ⅱ，则称D是。的一个拟极小集(或局音lf基)．2．1．6定理【5】设A是定向完备偏序集，则A是连续偏序集当且仅当地∈』4，o有拟极小集2．1．7定义【5】设(X，≤)是定向完备偏序集，∑(x，≤)表示满足下列条件(1)与(2)的x中的全体子集G作成的集族：(1)G是上集，即G=TG；(2)G有定向弗不可达性，即若S姓x的定向子囊，则VS∈G号GnS≠

7、a则根据下面的定理可知，∑(x．≤)是x上的拓扑，称为Scott拓扑．在不致于引起混淆时，∑(x，≤)简记为∑(x)．2．1．8定理【5】设(x，≤)是定向完备偏序集，则E(x，S)是x上的拓扑偏序结构上的某些弱附加关系与弱连续性证明显然有o，x∈￡(x，S)设G1，(毛∈∑(x，≤)，则G·nG2=T(G1)n(G2)=T(G1nG2)即G。nG2是上集；又设S是X的定向子集，则VS∈G2nG2=争VS∈Gl，VS∈G2=}SnGl≠D，SnG2≠a=争j51∈SnGl，82∈SnG2=}js∈S，81≤s’82