机变量的均值与方差专题

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1、离散型随机变量的均值与方差【重点知识梳理】离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1．均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．方差称D(X)＝xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．【特别提醒】1．两个防范在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．2．三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)＝

2、p，D(X)＝p(1－p)；(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝n.3．六条性质(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)；(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)；(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)；【高频考点突破】考点一、离散型随机变量的均值和方差111．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤①理解X的意义，写出X可能的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布

3、列；④由均值的定义求EX；⑤由方差的定义求DX.2．若X是离散型随机变量，则aX+b(a,b是常数，且a≠0)也是离散型随机变量，且E(aX+b)=aEX+b.例1．A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B1A2和B2A3和B3现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．考点二、均值与方差性质的应用与二项分布有关的期望、方差的求法：(1)求随机

4、变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n,p)，则用公式EX=np，DX=np(1-p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX+b)=aEX+b以及EX=np求出E(aX+b)，同样还可求出D(aX+b).例2．设随机变量X具有分布P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，.考点三、均值与方差的实际应用例3．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，11X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品

5、，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3　5　3　3　8　5　5　6　3　46　3　4　7　5　3　4　8　5　38　3　4　3　4　4　7　5　6　7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．[来源:Zxxk.Com](3)在(1)、(2)的

6、条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．[来源:学科网]注：(1)产品的“性价比”＝；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．例4．今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如，家居用电的碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：A小区低碳族非低碳族比例PB小区低碳族非低碳

7、族比例P[来源:学§科§网Z§X§X§K](1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是“低碳族”的概率.(2)A小区经过大力宣传，每周“非低碳族”中有20%的人加入到“低碳族”的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25人，记X表示25人中“低碳族”人数，求EX．11【经典考题精析】1．已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）=（）A.B.2C.D.32．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体