广义极值分布线性矩法研究

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1、http://www.paper.edu.cn广义极值分布线性矩法研究李淑会，李兴凯，许睢河海大学，江苏南京（210098）摘要：在介绍了广义极值分布线性矩与其参数关系后，通过统计试验计算分析了线性矩在该分布中的统计性能及历史洪水公式的适用性，并与绝对值准则和平方和准则两种不同优化适线法、矩法作了比较。统计试验表明，线性矩法优于平方和准则适线法及矩法，其参数及设计值的不偏性很好,与绝对值准则适线法总体上相当。整体上讲，现行句法好与其他传统方法。关键词：广义极值分布；线性矩；历史洪水；优化适线法；统计试验1.前言Greenwood在1979年定义概率权重矩之后，Hosking于1990年

2、定义了线性矩[1][2][3]（L-moments），这引起了国外水文学者的高度兴趣，并作了一系列的研究工作，主要研究内容包括在简单样本、不同总体分布下，该估计方法统计性能，并与矩法比较，如何用于地区综合，线型鉴别等。在Hosking研究的基础上，国内对基于P-Ⅲ型分布、对数正态分布的线性矩法参数估计进行了研究，并提出了适合于含历史洪水特大值的不连序样本的线性[4][5]矩估算公式。但在国内对基于GEV分布的连序样本和非连序样本的线性矩法方面的研究还很少见，而对评价适线法作为GEV分布参数估计性质也不多见，本文主要探讨线性矩法在GEV分布参数估计应用。2.GEV的分布函数及其设计值计算

3、公式⎧1⎫⎪⎡⎛x−µ⎞⎤k⎪F(x)=P(ξ≥x)=1−exp⎨−⎢1−k⎜⎟⎥⎬k≠0(1)⎪⎣⎝α⎠⎦⎪⎩⎭_______________式中：µ位置参数；α尺度参数（α>0）；k形状参数。当k>0时，−∞0分别代表极值Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型分布。当k＝0时，GEV分布退化为分布Gumbel分布。对任意给定的频率p，由p＝F（xp）求解与频率p对应的设计值xp为α{k}xp=µ+1−[−ln(1−p)]（2）k3.GEV分布参数与线性矩的关系线性矩λ1、λ2、τ3、τ4定义见文献[4]，

4、由文献[1]可知线性矩与密度函数中参数或特征参数关系式如下：若µ、k、α已知，则由文献[1]给出线性矩公式如下（k>－1）：⎧λ1=µ+α[1−Γ(1+k)]/k⎪−k⎪λ2=α(1−2)Γ(1+k)/k(3)⎨−k−k⎪τ3=2(1−3)/(1−2)−3⎪−k−k−k−k⎩τ4=[5(1−4)−10(1−3)+6(1−2)]/(1−2)-1-http://www.paper.edu.cn由于无显式表达式，只能用近似方法求解k。当−0.5≤τ3≤0.5时，下式可将计算误差控－4[1]制在9×10以下22ln2k≈7.8590c+2.9554c,其中c=−(4)3+τ3ln3其它参数α、

5、µ计算公式如下：λ2kα=,µ=λ1−α[1−Γ(1+k)]/k(5)−k(1−2)Γ(1+k)4.密度函数参数与分布统计特征参数的关系⎧k⎪Z=1−(X−u),k<0令⎪α(6)⎨⎪k-Z=1−(X−u),k>0⎪⎩α[1]可得-下列关系式⎧⎪mrz=Γ(1+rk),k<0(7)⎨r⎪⎩mrz=(−1)Γ(1+rk),k>0式中：mrz为随机变量Z的r阶原点距，Γ为Gamma函数。由文献[1]，得⎧z=m1z=−sign(k)Γ(1+k)⎪21/221/2⎪σz=()m2z−m1z=[]Γ(1+2k)−Γ(1+k)⎪(8)⎨Cvz=σz/z⎪3[]3⎪C=m3z−3m2zm1z+2m

6、1z=sign(k)−Γ(1+3k)+3Γ(1+2k)Γ(1+k)−2Γ(1+k)⎪sz23/223/2⎩()m2z−m1z[]Γ(1+2k)−Γ(1+k)根据式（6）有ασx=σz，Csx=Csz(9)k于是，本文经推导得出常用的统计特征参数EX、Cv、Cs计算公式表达式如下：EX=µ+α[]1−Γ()1+kk=λ1(10)21/2α[]Γ(1+2k)−Γ(1+k)Cv=(11)kEX3sign(k)[−Γ(1+3k)+3Γ(1+2k)Γ(1+k)−2Γ(1+k)]Cs=(12)[]23/2Γ(1+2k)−Γ(1+k)反之，若已知EX、Cv、Cs,则可推求出µ、k、α：考虑到Cs与k

7、一一对应，可由Cs求出k，由于k=f(Cs)无显式表达式，本文用近似方法推求k。k与Cs关系如图1、图2。当k<0时，k的近似表达式为65432k≈A6⋅Cs+A5⋅Cs+A4⋅Cs+A3⋅Cs+A2⋅Cs+A1⋅Cs+A0（13）当k>0时，k的近似表达式为65432k≈B6⋅Cs+B5⋅Cs+B4⋅Cs+B3⋅Cs+B2⋅Cs+B1⋅Cs+B0（14）上式中的系数见表1。-2-http://www.paper.edu.cn表1近似估算系数表