常见梁横截面惯性矩求解方法的讨论

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1、第23卷第2期甘肃科技Z．23No．22007年2月GansuScienceandTechnologyFeb．2007常见梁横截面惯性矩求解方法的讨论李晖敏(兰州理工大学基建规划处，甘肃兰州730050)摘要：探讨了工程中几种常见形式的构件横截面惯性矩的计算方法，对平面图形的几何性质之一一惯性矩的概念有更全面系统的理解，为工程实践提供基础性的理论指导和建议。关键词：惯性矩；组合截面；分块法；负面积法；叠加中图分类号：0343．5杆件的应力与变形，与其横截面的形状和尺寸bh0lz==：有关。例如，拉压杆的应力与变形与横截

2、面的面积hb。有关，圆轴扭转的应力与变形与横截面的极惯性矩(2)Y百及抗扭截面系数有关，梁的弯曲正应力与横截面的形心位置及惯性矩等有关。这其中，惯性矩是一个b。极为重要的力学概念。而材料力学就其自身特点来一说，它是一门与工程实践紧密结合的专业基础课，工h程上比较常见的构件截面惯性矩的求解对工程技术Z人员来说应该是一个基本的技能。因此，对挖孔、开槽、胶合、叠加和组合等几种常见工程实例，本文对其横截面惯性矩求解方程进行了归纳和探讨。1rv1惯性矩的概念与惯性矩平行移轴定理图2任意截面如图1所示，其面积为A，在坐标为(z，y

3、)的任意点处，其微面积为dA，则下面面积分由惯性矩定义可知，同一截面对于不同坐标轴I=『Ay2dA的惯性矩一般不同。截面对于任一坐标轴的惯性(1)IY=』AzdA矩，等于其对自身形心轴Zo的惯性矩加上截面面积与两轴间距离的平方之乘积，此定理为惯性矩平行Z轴定理。Iz：Iz0+Aa‘(3)其中，A为截面面积，a为z轴与Zo轴之间的距离。有了惯性矩的定义和惯性矩平行移轴定理就可以讨论和归纳工程上常见的梁截面上挖孔、开槽、胶合、叠加和组合等实例的截面惯性矩计算方法。2挖孔、开槽的梁截面惯性矩计算方法图1工程实践中很多时候为了

4、悬挂设备和铺设管线分别称为截面对坐标轴z和Y的惯性矩。由上会在梁上挖孔和开槽。述定义可以看出，惯性矩恒为正，量纲为长度的四次例1：图3是矩形截面梁，EoJ=lOMpa。方。(1)试根据强度要求确定尺寸b；这样一来对于一些常见的构件截面，例如矩形(2)在悬臂梁A处钻一直径为60ram的圆孔，截面(见图2)，对形心轴的惯性矩积分后得到问结构是否安全。146甘肃科技第23卷合成一体)，I-~：3—3．4Mpa，求F及此时的[a]，若截面为自由叠加，[a]。的值又为多大?IIII，

5、r、2bZT，r)．77f／．7fff){I

6、’IfI?II{Z5图3．解：由(1)问可以得出b=125mm，则矩形截面尺寸为250×125mm。图4要计算第二问是否安全，需要计算图3中下面解：这是一道强度计算题，涉及胶合截面和图形两个阴影截面对z轴的惯性矩，可将此钻孔后自由叠加截面对z轴惯性矩的计算。当三块等截面的截面看成一个250×125的大矩形中挖走了一个板胶合在一起时可视为一个整体矩形截面，它的惯125×6O的小矩形，两个矩形分别对z轴取惯性矩性矩为I。一一再作代数和，其中小矩形是被挖掉了的部分，所以其一28．1×10mm惯性矩取负，这类似于求截面形心的负

7、面积法，由式当三个子截面自由叠加时，弯矩由三个子截面(2)得：平均分担，则每个子截面担负113倍的弯矩，同时，I一I：一I。惯性矩取子截面对各自形心轴的惯性矩进行计算：一一丝1212，bh。100X50。‘1212一!一一】．O4×】06mm41212一I60．5×1omm4组合截面惯性矩的计算还可以将挖孔后的截面看成上部阴影区域和下工程上常出现多个相同子截面规则排序，求对部阴影区域两部分分别对z轴取惯性矩再作和，由惯性矩定义和平行移轴定理有：形心主惯性轴的惯性矩。例如在建筑施工过程中，柱网布置好以后会对整体截面形心求

8、惯性矩，以期I：一2(+A。d)进一步的工程计算。一2(一+-125X95X77．5z)例3：15根木桩整齐排列组成一个整体截面，如图5所示，各木桩的横截面都是直径为d=lOcm的圆一16O．5×10mm形，间距a=5Ocm，求此整体截面的形心主惯性矩。其中，b×h是阴影区域的尺寸，A。为阴影区域的面积，d是阴影面积形心到Z轴的距离。此方法oo()ooa可命名为分块法，可见，“负面积法”与分块法结论是／一、／，_、、／，，。、／—、／—、一Z致的。＼、一，／＼、-一／＼、一／3胶合或自由叠加的梁截面惯性矩的计算oo()

9、oo工程中有时需要两种以上的板材胶合在一起作●I1r为承弯构件，考虑到受弯变形的层间剪力的要求，又y可能会将几种板材自由叠放。这时的强度计算和相图5关的惯性矩如何求解呢?(下转第113页)例2：悬臂梁截面为三块矩形截面叠加而成(胶第2期琚黎华：碳纳米管制备专题文献统计分析113定的反应气体，在基底或反应腔壁上沉积出碳纳米及能够控制