关于型极限求解方法的讨论0

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1、第３２卷第１１期重庆工商大学学报（自然科学版）２０１５年１１月Ｖｏｌ．３２ＮＯ．１１ＪＣｈｏｎｇｑｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌＢｕｓｉｎｅｓｓＵｎｉｖ．（ＮａｔＳｃｉＥｄ）Ｎｏｖ．２０１５ｄｏｉ：１０．１６０５５／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－０５８Ｘ．２０１５．００１１．０２２０∗关于型极限求解方法的讨论０赵晔（西安工业大学理学院，西安７１００３２）０摘要：型求极限的问题是极限问题中非常重要的问题，关于这类问题的讨论牵扯到很多相关的数０学知识点，将这些相关的方法进行归纳，使得这种求极限的问题能更好地为学生了解．关键词：极限；洛比达法则；等价无穷小的代换；导数中图分类号：ＴＰ２７７文献标志码：Ａ文章编

2、号：１６７２－０５８Ｘ（２０１５）１１－００９３－０３０在数学中，关于型求极限的问题是学生学习的重点，也是难点．随着学习内容知识点的增加，求极限的００问题也能利用很多不同的方法．此处在此专门探讨了求解这种型极限问题的多种方法，比如：对求极限函０数的化简变形、导数的定义、等价无穷小的代换、两个重要极限、洛比达法则、变上限积分函数的求导、泰勒公式等等．这些方法在题目中有的需要综合使用．方法１利用对求极限的函数的化简变形求解．这种方法注意是利用变形约去分子、分母中极限为零或者∞的因子，然后利用极限的四则运算法则计算．１＋ｘ－１－ｘ例１求ｌｉｍ．ｘ→－０ｘ０分析把ｘ代入求极限函数，发现是一个型，

3、所以首先需要化简变形，也就是分子有理化，则有０１＋ｘ－１－ｘ（１＋ｘ＋１－ｘ）（１＋ｘ－１－ｘ）２ｘｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝０ｘ→－０ｘｘ→０１＋ｘ＋１－ｘｘ→０１＋ｘ＋１－ｘ０方法２利用导数的定义求型极限．０ｆ（ｔｘ）－ｆ（ｘ）例２设ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，且ｆ（０）＝０，求极限ｌｉｍ．ｘ→０ｘ分析题目已知的条件是在这一点可导，求的是一个极限，自然而然就能想到这里考察的是导数与极限之间的关系，即导数的定义，同时注意在导数的定义中分母必须是对应的自变量的改变量．所以有ｆ（ｔｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｔｘ）－ｆ（０）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｆ（ｔｘ）－ｆ（０）ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ·

4、ｔ－ｌｉｍ＝ｘ→０ｘｘ→０ｘｘ→０ｔｘｘ→０ｘｔｆ′（０）－ｆ′（０）＝（ｔ－１）ｆ′（０）０方法３利用等价无穷小的代换求型极限．０收稿日期：２０１５－０６－２０；修回日期：２０１５－０７－２０．∗基金项目：陕西省教育厅专项科研计划项目（２０１３ＪＫ０５９０）．作者简介：赵晔（１９７７⁃），女，山东潍坊人，讲师，博士，从事模糊数学研究．９４重庆工商大学学报（自然科学版）第３２卷ｘｓｉｎｘ－ｘｅ（１－ｅ）例３求极限ｌｉｍ．ｘ→０ｘ－ｓｉｎｘ０分析这是一类型求极限的问题．从其特点看，不要立即用洛比达法则，因为分子分母的导数求起来０ｘ比较麻烦．在此，先利用等价无穷小的代换．常用的等价无穷小代换

5、中，与此题有关的是ｘ～ｓｉｎｘ～ｅ－１．ｘｓｉｎｘ－ｘｘｅ（１－ｅ）ｅ（ｘ－ｓｉｎｘ）ｘ解ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍｅ＝１．ｘ→０ｘ－ｓｉｎｘｘ→０ｘ－ｓｉｎｘｘ→００方法４利用重要极限求解型极限０ｘｎ例４求极限ｌｉｍ２ｓｉｎ．ｎｎ→∞２分析这是一个∞·０型求极限问题．此题属于未定型求极限的问题，可以用洛比达法则求解，也可以用第一个重要极限求解．在此需要注意分子和分母的格式要对应相同．ｘｓｉｎｎｘ２ｎ解ｌｉｍ２ｓｉｎ＝ｌｉｍ·ｘ＝ｘｎｎ→∞２ｎ→∞ｘｎ２０方法５利用洛比达法则求解型极限．０１＋２ｘ＋１－２ｘ－２例５求极限ｌｉｍ．２ｘ→０ｘ０分析此题为型极限．可以直接利用洛比达法则求解．０解１

6、－１＋１＋２ｘ＋１－２ｘ－２１＋２ｘ１－２ｘ１－２ｘ－１＋２ｘｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝２ｘ→０ｘｘ→０２ｘｘ→０２ｘ·１－２ｘ·１＋２ｘ１１－２ｘ－１＋２ｘ１（１－２ｘ）－（１＋２ｘ）１ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝－２ｌｉｍ＝－１２ｘ→０ｘ２ｘ→０ｘ（１－２ｘ－１＋２ｘ）ｘ→０１－２ｘ＋１＋２ｘ０方法６利用变上限积分函数的求导求解型极限．０ｘ∫（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ０例６设ｆ（ｘ）在ｘ＝０的某邻域内连续，ｆ（０）≠０，则ｌｉｍ＝．ｘｘ→０ｘ∫ｆ（ｘ－ｔ）ｄｔ００分析此题为型极限，属于变上限积分函数求极限，而在变上限积分函数的问题中，往往考察的是其０求导问题，因此采用洛比达法则最合适．此题的特别之处在

7、于分子中的两个ｘ不同，需要先化简变形．解ｘｘｘ∫（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ∫ｆ（ｔ）ｄｔ－∫ｔｆ（ｔ）ｄｔ０００ｘ０ｘｘ∫ｆ（ｘ－ｔ）ｄｔ＝∫ｆ（ｕ）（－ｄｕ）＝∫ｆ（ｕ）ｄｕ＝∫ｆ（ｔ）ｄｔ０ｘ００ｘｘｘ∫（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔｘ∫ｆ（ｔ）ｄｔ－∫ｔｆ（ｔ）ｄｔ０００ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｘｘｘ→０ｘ→０ｘ∫ｆ（ｘ－ｔ）ｄｔｘ∫ｆ（ｔ）ｄｔ０００第１１期赵晔：关于型极限求解方法的讨论０９５ｘｘ∫ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｘｆ（ｘ）－ｘｆ（ｘ）∫ｆ（