极限求解方法

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1、极限求解的方法韩山师范学院数学教育摘要：数学分析是以极限理论和极限方法为基础，以微积分为主要内容的学科。理解并掌握求极限的方法对学习数学分析有很大的帮助，然而极限的题型技巧性很强。所以要学好极限，应从两个方面着手。1、考察所给的数列或函数是否有极限（极限的存在性问题）；2、若极限存在，考虑如何计算此极限（极限的计算问题）。本文总结了几种求极限的一般方法，并结合具体例子对方法加以说明。榜关键词：极限、洛必达法则、泰勒公式、柯西准则、定积分前言：在数学分析中极限的求法有很多种，方法虽然多但却不集中。本文根据所学知识探讨了数学分析中求极限的几种方

2、法和思想，结合具体例子分析了一般极限的求解过程并给出极限求解的方法和技巧。这些方法不能适用于所有极限的求解，但具有一定的代表性。1、利用极限定义验证极限定义：设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作。例1：证：利用极限定义证明，关键是要对任意，求出，使得时有即可。任给，要找N，使时，有第18页共18页，即，显然，当较大时，如，有因此要使成立，当时，只要即所以，任给，取，则当时，有因此成立。利用极限定义验证极限是极限问题的难点，关键在于对任意给定的正数的任意性。然而，尽管有其任意性，

3、但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N。还有N的相应性。一般说，随的变小而变大，由此常把写作，来强调是依赖于的；但重要的是的存在性，而不在于它的值的大小。2、利用迫敛性来求极限第18页共18页定理：设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数当时有，则数列收敛，且。例2：设，试求极限。解：利用迫敛性定理求比较复杂数列的极限，应构造适当的不等式，这不仅是判定数列收敛的一种方法，而且也是求极限的一个重要的工具。，故，由迫敛性得利用迫敛性求极限关键在于从表达式中通过放大或缩小的方法找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的

4、两个函数必须要收敛于极限值。3、利用极限的四则运算法则求极限定理：如果存在则第18页共18页若及，则例3：求解：将化作我们常见的可求极限的形式，再通过极限的四则运算法则进行计算。例4：求解：利用极限四则运算法则关键在于每项或每个因子极限存在，一般所给出的不满足条件。因此必须要对变量进行变形，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算、通分化简、化无穷多项的和或积为有限项等恒等变形。4、利用单调有界定理求极限定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。例5：设证明其极限存在并求其值。证：利用单调有界定理求极限，首先判断所给数列是单调有界的，即用单

5、调有界定理证明数列极限的存在；然后，设所求的极限为一个常数，并由相邻两项与的关系式两端取极限得一关于的方程；最后解所列的方程并同时利用极限保不等式性求出，即位所求的极限。由题可知第18页共18页假设，则而，假设则故此数列有界，由单调有界定理可知收敛令，由两边取极限得即或由极限报不等式性得舍去，故此数列极限存在且极限值为2.例6：设，求极限。解：不妨设（的情形同理可证）。显然由，得，由故数列是一个单调减少且有下界的数列，因此收敛。又，取极限，并设，得，故，即。利用单调有界定理求极限关键在于先要证明数列极限的存在，然后根据数列的通项递推公式求其

6、极限。5、利用两个重要的极限公式来求极限第18页共18页两个重要的极限公式：；注：在利用这两个极限球相应的极限时，一般要对函数做相应的变换。例:7：求极限解：利用重要的极限及函数极限的运算法则。例8：求极限解：利用两个重要的极限公式求极限关键在于所给出的函数形式是否符合或经过变形是否符合这两个极限公式。一般常用的方法是换元法和配指数法。第18页共18页6、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质（1）两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；（2）无穷小量与有界量的乘机为无穷小量；（3）无穷大量的倒数是无穷小量。例9：求极限解：当时

7、分母的极限为0，而分子的极限不为0，因此可先求出所给函数的倒数利用无穷小量的倒数是无穷大量，故例10：求极限解：当时，为无穷小量，而为有界量。故7、利用等价无穷小量代换求极限定理：设函数在上有定义，且有（1）若则有（2）若则有第18页共18页等价无穷小代换的本质就是用较为简单的无穷小量去代替比较复杂的无穷小量，而将这两个无穷小量之间的差略去不计。当然，前提是它们的差必须是更高阶的无穷小。因此在计算过程中，比较稳妥的做法是保留高阶无穷小量，并时刻留意其演化的进程。例11：求极限解：用等价无穷小量代换。由于时，有利用等价无穷小量代换求极限，应注

8、意：只有对所求极限式中响成或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。欲利用此方法求极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量：当时，8、利用函