多目标优化设计的最小偏差法

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1、50优化设计应用技术与经验交流《机械设计》2002年12月№12文章编号:1001-2354(2002)12-0050-02X多目标优化设计的最小偏差法12周美英,李典庆(11河海大学机电工程学院,江苏常州　213022;21上海交通大学船舶与海洋工程学院,上海　200030)　　摘要:提出了处理多目标问题的最小偏差法,并将其应用于普通圆柱螺旋弹簧的优化设计。以普通圆柱螺旋弹簧的质量、高度及防共振性能为目标函数进行了优化设计。算例结果表明,此方法能够克服传统优化算法极易陷入局部最优的缺点,而且收敛速度快。因而得到了比传统算法更优

2、的设计方案。关键词:最小偏差法;多目标;优化设计中图分类号:TH122　　　文献标识码:An　　在多目标优化设计中,传统的解决方法是用多目x∈R标规划的评价函数法[1]。评价函数法的思想是借助式中:f1(x)、f2(x)、⋯、fl(x)———l个极小化目标函数;fl+1(x)、fl+2(x)、⋯、fm(x)———m-l个极大化目标函数;于几何或应用中的直观背景,构造所谓的评价函数,从)Tx———设计变量,x=(x1,x2,⋯,xn。而将多目标优化问题,转化为单目标优化问题。再利　　由此可看到,多目标优化问题与通常的单目标优用单目

3、标优化问题的求解方法求出最优解,并将这种化问题本质区别在于,前者的目标为一向量函数,是一解作为多目标优化问题的最优解。这种方法的关键问个向量优化问题。因此,在多目标优化过程中,往往要题是转化后的单目标优化问题最优解,必须是多目标比较这些向量函数的“大小”,为此需要引入一个“有效问题的有效解或弱有效解,否则结果是不对的。构造解”,即Pareto最优解的概念,它是于1951年由TC评价函数方法主要有:主要目标法、线性加权和法、理[2]Koopmans正式提出的。想点法、平方和加权法、分目标乘除法、极大极小法和n3　　设XAR是上述模

4、型的约束集,若x∈X,并几何平均法等。这些方法总的一个缺点是由于各目标且不存在x∈X使得Pi∈(1,2,⋯l,),fi(x)≤fi间的不可比性和冲突性,使得对多目标优化设计不能(x3),而对于Pi∈(l+1,l+2,⋯,m),f(x)≥fii建立一个纯客观的判据标准。多目标优化设计的困难(x3),则称x3为其有效解。若把“≤”、“≥”换为之处在于建立一个反映决策者偏好的选优衡准,即各“<”、“>”,则称x为其弱有效解。弱有效解是由目标函数的重要性排序。若目标函数或权数选择不Kanlin于1959年提出的。同,则得到的优化结果也不

5、同。决策结果往往带有一　　对于多目标优化问题,人们设法求解的既是问题定程度的相对性和主观性,不能真实地反映客观事实。的有效解(或弱有效解),又是在某种意义上令决策者为此,引入统一目标函数最小偏差法,其特点在于仅需满意的解。根据多目标优化问题的特点以及决策者的要分析者和决策者的局部信息,即各个目标函数的最意图,构造一个统一目标函数:优解,而无需知道它们的相对重要性。在此提出的采～～用无量纲的最小偏差法F(x)=F(f1(x),f2(x),⋯,fm(x))(1),并将其应用于普通圆柱螺旋　　采用不同形式的统一目标函数可求得不同意义的

6、弹簧的多目标优化设计中。算例结果表明,该方法对解,并对应于不同的求解方法。此处采用最小偏差法,于解决机械多目标优化设计问题是有效的。取统一目标函数为:～lf(x)-f3mf3-f(x)iijj(2)1　多目标优化数学模型及最小偏差法minF(x)=∑3+∑3i=1f′i-fij=l+1fj-f′j33(x)与极大化目标函数式中:fi、fj———分别表示极小化目标函数fi　　一般多目标优化数学模型为:fj(x)最优解的相应函数值;(x)=[f(x),f(x),⋯,f(x)]T(x)的最大期望值与对minF112lf′i、f′j——

7、—分别表示对极小化目标函数fiV-maxF(x)=[f(x),f(x),⋯,f(x)]T极大化目标函数fj(x)的最小期望值,即仅对目标函2l+1l+2ms.t.gj(x)≥0(j=1,2,⋯,p)数fi(x)进行单目标优化的最大值,以及对目标函数hk=0(k=1,2,⋯,q)fj(x)进行单目标优化的最小值。X收稿日期:2001-11-01;　修订日期:2002-04-18作者简介:周美英(1961-),女,江苏常州人,工程师,主要从事力学试验、测试方面的研究。《机械设计》2002年12月№12应用技术与经验交流优化设计513

8、3　　在计算中只要保证f′i、f′j与fi、fj不相等或接f远远大于其工作频率fr,也即自振频率f越大,弹簧～～防共振性能越好,因此,防共振性能最好的目标函数近,就能找到F(x)的最优解,而不必考虑F(x)的数为:学特性。这就是统一目标函数最小偏差法仅需要分析5