4.4三角函数的图象与性质1

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1、4.4三角函数的图象与性质【考点集结号】1．三角函数的图象；2．三角函数的性质；3．正弦型函数性质；4．五点作图法．【易错点精析】一、忽视“五点”的位置O2yx例1已知函数y=Asin（ωx＋j）（A＞0，

2、j

3、＜π）的部分图象如图所示，试确定该函数的解析式．〖错解〗由图象可知A=2．又=－=，所以T=π，即=π．所以ω=2，故有y=2sin（2x＋j）．又因为函数图象经过点（，0），所以有sin（＋j）=0，则＋j=kπ（k∈Z）．因为

4、j

5、＜π，所以得j=－或j=．故所求的函数解析式为y=2sin（2x－）或y=2sin（2x＋）．〖剖析〗事实上，函数y=2sin（2x－）的图象并不

6、经过点（，2），故y=2sin（2x－）不符合题意．原因是错解只考虑了函数值的对应而忽视了函数图象的合理性．我们知道形如y=Asin（ωx＋j）的函数图象均可以用“五点法”画出，而“五点法”中我们令ωx＋j分别取0，，π，，2π，从图可看出对应的应该是π，错解中令＋j=kπ（k∈Z）就扩大了j的取值范围．〖正解1〗将点（，2）代入y=2sin（2x＋j）中，则有sin（＋j）=1，所以＋j=2kπ＋（k∈Z）．又因为

7、j

8、＜π，所以j=．故y=2sin（2x＋）即为所求．〖正解2〗（，0）为五点作图的第三点，则由sin（＋j）=0，得＋j=（2k＋1）π，j=2kπ＋（k∈Z）．又因为

9、

10、j

11、＜π，所以j=．故y=2sin（2x＋）即为所求．二、忽视变换对象例2把函数y=sin（3x－）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，求所得函数的解析式〖错解〗将原函数图象向右平移个单位，得y=sin（3x－－）=sin（3x－），再将横坐标缩短为原来的，得到y=sin（·3x－）=sin（x－）．〖剖析〗以上解法没有准确抓住变换对象而致错．不论左右平移还是横坐标的伸缩，变换的对象只是“x”，即以什么代换“x”．此题中，向右平移个单位，依据“左＋右－”的原则，应以（x－）代换x，表达式中其他部分不变；而横坐标的伸长或缩短，对应于周期的变大或缩小，此例中横坐标缩

12、短为原来的，意味着周期变为原来的，故应以2x代换，而表达式其他部分不变．〖正解〗将原函数图象向右平移个单位，得y=sin[3（x－）－]=sin（3x－），再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到y=sin[3（2x）－]=sin（6x－）．三、忽视复合函数单调性例3求函数y=2sin（－2x）的单调递增区间．〖错解〗由2kπ－≤－2x≤2kπ＋，解得：－kπ－≤x≤－kπ＋（k∈Z）．所以函数y=2sin（－2x）的单调递增区间为：[－kπ－，－kπ＋]（k∈Z）．〖剖析〗由u=－2x是减函数，y=2sinu是[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）上的增函数可知[－kπ－，－kπ＋]（k∈Z

13、）是原函数的单调递减区间，而非单调递减区间．〖正解1〗由u=－2x是减函数，且使原函数在待求区间递增，需使函数y=2sinu递减，于是u∈[2kπ＋，2kπ＋]（k∈Z）．于是令2kπ＋≤－2x≤2kπ＋，解得－kπ－≤x≤－kπ－（k∈Z），故[－kπ－，－kπ－]（k∈Z）是原函数的单调递增区间．〖正解2〗由y=2sin（－2x）=2sin[π－（－2x）]，得y=2sin（2x＋）．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，解得：kπ－≤x≤kπ－（k∈Z）．故所求函数的单调递增区间为[kπ－，kπ－]（k∈Z）．四、忽视定义域的变化例4求函数y=的周期．〖错解〗因为y==tan2x，所以T=

14、．〖剖析〗解法遵循常规思路，先化简后求周期，但结果是错的，不是y=的周期．因为当x=0时，y=有意义，所以由周期函数定义应有f（0＋）=f（0）成立，然而f（0＋）根本无意义，故不是其周期．究其原因，是从变到“tanx”不是等价变形．前者定义域是{x∈R

15、x≠kπ＋且x≠＋，k∈Z}，而后者定义域是{x∈R

16、x≠＋，k∈Z}．显然在变形过程中定义域扩大了，两式不等价，故周期不一定相同．〖正解〗由于函数y=的定义域为{x∈R

17、x≠kπ＋且x≠＋，k∈Z}，故分别作出函数y=与y=tan2x的图象，如图1，图2所示．可以看出，所求函数周期应为π．Oxy图2－11－－Oxy图1－11－－☆考点

18、精练☆Ａ组一、选择题1．函数y=sin（－3x）的最小正周期是（）A．B．C．4πD．2．函数y=sin（x＋）在（）A．[－，]上是增函数　　　　B．[0，π]上是减函数C．[－π，0]上是减函数　　D．[－π，π]上是减函数3．将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x＋j）的图象，则j的一个值等于（　　）　　A．－B．－C．D．4．在下列函数中，同时满足条件①在（0，）上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是