《离散型随机变量的方差》导学案3

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1、《离散型随机变量的方差》导学案3【课标要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和计算．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．【核心扫描】1．离散型随机变量的方差与标准差的概念和计算．(难点)2．离散型随机变量的均值意义与方差意义的区别与联系．(易混点)3．两点分布、二项分布的方差的求法.自学导引1．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(

2、X)的偏离程度，而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．(2)意义：随机变量的方差和均值都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．(3)离散型随机变量方差的性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．试一试：已知ξ的分布列为：ξ1234P则D(ξ)的值为________．提示　∵E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝；∴D(ξ)＝(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2＝.2．服从两点分布与二项分布

3、的随机变量的方差XX服从两点分布X～B(n、p)D(X)p(1－p)(p为成功概率)np(1－p)试一试：已知随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，你能求出p的值吗？提示　由已知得，3p(1－p)＝，解得p＝或.名师点睛1．理解、记忆方差的定义式设x1、x2、…、xn为n个样本数据，＝，则该样本数据的方差S2＝(xi－)2·，由于相当于离散型随机变量中的E(X)，而相当于每个数据出现的频率(概率)pi，故离散型随机变量X的方差可定义为：DX＝(xi－E(X))2·pi(i＝1,2，…，n)．2．数学期望与方差的关系(1)数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征．数学期望是算术平均值概念的推广

4、，是概率意义下的平均值，而方差表现了随机变量所取的值相对于数学期望的集中与离散的程度．(2)E(X)是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X的取值的平均水平，D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．(3)D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定(当然方差是建立在数学期望这一概念上的)．3．方差的性质当a，b均为常数时，随机变量函数η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特别地：(1)当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0；(2)当a

5、＝1时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；(3)当b＝0时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.题型一　求离散型随机变量的方差【例1】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差．[思路探索]先求出ξ的分布列，再利用期望、标准差公式求解期望、标准差．解　(1)P＝×＋×＝.(2)P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝1)＝×＋

6、×＝.P(ξ＝2)＝×＝.故ξ的分布列为ξ012PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，∴＝.[规律方法]　1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：↓↓↓↓2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．【变式1】已知X的分布列为X－101P求：(1)E(X)，D(X)；(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．解　(1)E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝2×＋2×＋2×＝.(2)E(Y)＝2E(X)＋3＝，D(Y)＝4D(X)＝

7、.题型二　两点分布与二项分布的方差【例2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．[思路探索]判断某一离散型随机变量是否服从二项分布，是利用公式E