选好分类标准，优化分类顺序

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1、选好分类标准，优化分类顺序　　　　分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答。所以分类讨论题中有题，步骤繁琐，过程冗长，如果再不注意分类标准和分类顺序，那么产生重复或遗漏等解题错误的可能性较大，甚至还会造成解题失误。　　　　本文力图阐明如何选好分类标准和如何优化分类顺序，所举例题在求解过程中将附加思路流程，以便读者把握选择分类标准和优化分类顺序的脉络。　　　　1分类标准是根据需要而定的，不确定

2、、不统一时就需要分类　　　　例1解关于x的不等式　　分析本题的主体框架是分式不等式，所以按分式不等式的求解思路来探索，虽含有参数，但现在还看不出如何分类，需要时再分。　　　　解原不等式化为即。（思考：括号内的“”是什么式？显然a=0时是一次式；a≠0是二次式，意味着第一层分类标准诞生）。　　（1）当a=0时，原不等式变为：x（x一1）＜0，此时解为：0＜x＜1。 　　（2）当a≠0时，（“”为二次三项式，对此分解因式，而这与它等于零时的两根有关，根又与判别式△有关，于是第二层分类标准产生），而△=1一4a。　　①当△>0，即1一4a＞0，即（此时两根是存在

3、了，然而根的大小又与a的正负有关，所以第三层分类标准又应运而生)　　1°若时，有　　，　　于是不等式化为：　　　　∴此时原不等式的解为：　　，　　或　　　　2°若a<0,原不等式化为：　　　　∵,　　与的两根相同，　　而此时有：，　　于是原不等式进一步化为：　　∴此时原不等式的解为：　　，　　或　　②当△=0，即时，原不等式化为：　　,即,　　　　∴此时原不等式的解为：　　02　　　　(3)当△<0,即时，恒大于零，此时原不等式的解为x>0.　　综上：当时，原不等式的解为x>0；　　当时，原不等式的解是　　02　　　　当时，原不

4、等式的解是　　　　或。　　当a=0时，原不等式的解是。　　当a<0时，原不等式的解是　　　　或　　评注本题是错综复杂的分类讨论的经典题目。从求解思路中看出：分类标准是根据需要设定的。大类中有小类，小类中还可能有更小的类，但只要逐层选择好分类标准，就可让它们各行其道、各畅其流。 　　一般而言，分类标准可能是这样选择的：①由字母系数是否为零来确定式子的类型；②由二次项系数的正负来确定开口方向；③由根的判别式大于、小于或等于零来确定二次方程解的种类；④根的大小来划分在数轴上的相对位置；⑤对数或指数的底是否大于1来界定函数的增减性；⑥由定义、性质、公式或定理等引起

5、的讨论，如绝对值的定义等等。　　　　2分类顺序应按由少到多，由简单到复杂来优化；也可结合数形结合等数学思想方法来优化　　　　例2将一张100元的人民币换成10元，20元，50元的零币，已知这三种零币都有足够多，问有多少种换法？　　分析本题有多种分类顺序，在此仅举两种，希望你能体会如何优化分类顺序，以及优化分类顺序的重要性。　　　　思路1第一层按含10元币的张数分，第二层按含20元的张数分，第三层按含50元的张数分，则第一层有9种可能，分别为：含0、1、2、3、4、5、6、8、10张10元币（注意：含7张或9张10元币不可能）．然后在含1张10元币的情况下，

6、去考虑含20元的张数，在此基础上再去考虑含50元的张数…以此类推，马上就会发现情况纷繁复杂，思路混浊不清，象走迷宫一样晕头转向．究其原因是没有优化分类顺序所致。　　　　其实，题中50元的分类情况最少，其次是20元，因此优化了的分类顺序应该是：第一层按50元分，第二层按20元分，这便是思路2：　　1．含2张50元；　　2．含1张50元，　　（1）不含20元，则含5张10元；　　（2）含1张20元，则含3张10元；　　（3）含2张20元，则含1张10元； 　　3．不含50元，　　（1）不含20元，则含10张10元；　　（2）含1张20元，则含8张10元；　　（

7、3）含2张20元，则含6张10元；　　（4）含3张20元，则含4张10元；　　（5）含4张20元，则含2张10元；　　（6）含5张20元。　　综上，共有10种换法。　　　　参考训练题　　（1）已知f（x）的定义域为[0，1］，对不为零的实数a，　　求g（x）=f（x＋a）＋f（x-a)的定义域。　　（2）已知在区间［-1，1]上有最小值g（a），　　求g（a）的表达式。　　（3）解关于x的不等式。　　（4）解关于x的不等式　　（a≠1）.　　（5）解关于x的不等式.　　　　　　参考答案或提示 　　（1）按不等式组中各不等式的“根”的大小分类。　　（2）依对

8、称轴相对于区间的不同位置分类。　　（3）按根的大小分类。　　（4）