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时间:2019-05-10
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1、2019-2020年北师大版数学必修4《余弦函数的图像与性质》练习一、选择题:(每小题5分,共5×6=30分)1.函数y=1+cosx的图像( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=对称答案:B解析:y=1+cosx是偶函数,其图像关于y轴对称.2.若函数f(x)=2cosx,x∈[0,],则函数f(x)的最小值是( )A.- B.-1C.-2D.-答案:C解析:函数f(x)=2cosx,∵x∈[0,],∴cosx∈[-1,1],∴2cosx∈[-2,2],∴函数f(x)的最小值为-2.3.使
2、cosx=1-m有意义的m的值为( )A.m≥0B.m≤0C.0≤m≤2D.-2≤m≤0答案:C解析:由于-1≤cosx≤1,即-1≤1-m≤1,即0≤m≤2.4.函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成的封闭图形的面积是( )A.4B.8C.2πD.4π答案:D解析:函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像与直线y=2围成的封闭图形如右图中阴影部分所示.利用图像的对称性可知该封闭图形的面积等于矩形OABC的面积.又OA=2,OC=2π,∴S封闭图形=S矩形OABC=2×2π=4π.5.函数y=1+cos
3、x(x∈[0,2π])的图像与直线y=的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3答案:C解析:由函数y=1+cosx(x∈[0,2π])的图像,可知直线y=与函数y=1+cosx的图像有2个交点,故选C.6.函数y=-xcosx的图像大致是图中的( )答案:D解析:令f(x)=-xcosx,则f(-x)=-(-x)·cos(-x)=xcosx=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以A、C排除,又当x∈时,f(x)<0,故选D.二、填空题:(每小题5分,共5×3=15分)7.三个数cos110°,cos80°,-cos50
4、°的大小关系为__________.答案:cos80°>cos110°>-cos50°解析:-cos50°=cos(180°-50°)=cos130°,∵函数y=cosx在[0,π]上为减函数,∴cos80°>cos110°>cos130°,即cos80°>cos110°>-cos50°.8.设0≤x≤2π,且
5、cosx-sinx
6、=sinx-cosx,则x的取值范围为________.答案:解析:由题意,知sinx-cosx≥0,即cosx≤sinx,在同一平面直角坐标系中画出函数y=sinx,x∈[0,2π]与y=cos
7、x,x∈[0,2π]的图像,如图所示:观察图像,可知x∈.9.函数y=log(1+λcosx)的最小值是-2,则λ的值是________.答案:±3解析:由题意,知1+λcosx的最大值为4,当λ>0时,1+λ=4,λ=3;当λ<0时,1-λ=4,λ=-3.∴λ=±3.三、解答题:(共35分,11+12+12)10.画出函数y=cosx+
8、cosx
9、的图像,并根据图像讨论其性质.解:y=cosx+
10、cosx
11、=,利用五点法画出其图像,如图:由图像可知函数具有以下性质:定义域:R;值域:[0,1];奇偶性:偶函数;周期性:最小
12、正周期为2π的周期函数;单调性:在区间[2kπ,2kπ+](k∈Z)上是递减的;在区间[2kπ-,2kπ](k∈Z)上是递增的.11.已知函数f(x)=2cos,x∈R.(1)求f(π)的值;(2)若f=,α∈,求f(2α)的值.解:(1)f(π)=2cos=-2cos=-.(2)∵f=2cos=-2sinα=,∴sinα=-∵α∈=,∴cosα==∴f(2α)=2cos=cos2α+sin2α=(2cos2α-1)+2sinαcosα=(2×-1)+2××=.12.(1)求函数y=3cos2x-4cosx+1,x∈的值域;
13、(2)已知函数y=acos+3,x∈的最大值为4,求实数a的值.解:(1)y=3cos2x-4cosx+1=32-.∵x∈,∴cosx∈.从而当cosx=-,即x=时,ymax=;当cosx=,即x=时,ymin=-.∴函数y=3cos2x-4cosx+1,x∈的值域为.(2)∵x∈,∴2x+∈,∴-1≤cos≤.若a>0,则当cos=时,y取得最大值a+3,∴a+3=4,∴a=2.若a<0,则当cos=-1时,y取得最大值-a+3,∴-a+3=4,∴a=-1.综上,实数a的值为2或-1.
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