《2.3.1平面向量基本定理》同步练习

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1、《2.3.1平面向量基本定理》同步练习情景切入情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．思考：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？分层演练基础巩固1．e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是(　　)A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2答案：C2．下面三种说法：

2、①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是________(填序号)．答案：②③3．已知向量a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________.答案：04．若3x＋4y＝a且2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，则x＋y＝________(用a，b表示)．答案：a＋b能力升级5．向量，，的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3，

3、设＝p，＝q，＝r，则以下等式成立的是(　　)A．r＝－p＋q　　　　　B．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2q解析：由＝－3，得－＝－3(－)，2＝－＋3，＝－＋，即r＝－p＋q.答案：A6．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么＝________.解析：由D为BC边中点可得：＝(＋)，又2＋＋＝0，所以2＋2＝0，故＝，从而＝.答案：7．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故λ＝.答

4、案：8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.解析：依题意可知M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则＝.①因为AD为中线，所以＋＝2＝m，即2＝m.②联立①②解得m＝3.答案：39．用向量证明三角形的三条边的中线共点．证明：设AD、BE、CF是△ABC的三条中线．设＝a，＝b，＝，则＝a－b，＝a－b，＝－a＋b，设AD与BE交于点G1，并设＝λ，＝μ，则＝λa－b，＝－a＋μb，又因为＝＋＝a＋(μ－1)b.所以解得λ＝μ＝，即＝.再设A

5、D与CF交于点G2，同理可得＝，故G1点与G2点重合，即AD、BE、CF相交于一点．所以三角形的三条边的中线共点．10．如右下图，在△ABC中，M是边AB的中点，E是CM的中点，AE的延长线交BC于F，MH∥AF.求证：＝＝.证明：设＝a，＝b.则＝2b，＝a－b，＝2＝2a－2b，＝＋＝2a－2b＋2b＝2a.所以＝－＝a.因此＝，同理可证：＝.因此结论成立．11．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为60°，与，与的夹角都为30°，且

6、

7、＝

8、

9、＝1，

10、

11、＝2，若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．解

12、析：过C分别作CN∥OA，交射线OB于N，作CM∥OB，交射线OA于M，则＝＋＝λ＋μ.所以＝λ，＝μ.由已知，

13、

14、＝

15、

16、＝1，在平行四边形OMCN中，∠MOC＝∠NOC＝∠NCO＝30°，所以△NOC为等腰三角形．所以ON＝NC＝OM，所以平行四边形OMCN为菱形．连接MN交OC于H，则OC⊥MN，且H为OC中点．在Rt△OHM中，cos∠HOM＝＝，即cos30°＝＝，解得OM＝2，所以ON＝2，所以λ＝＝2，μ＝＝2，故λ＋μ＝4.12．在一个平面内有不共线的三个定点O、A、B，动点P关于

17、点A的对称点为Q，Q关于点B的对称点为R.已知＝a，＝b，用a、b表示.解析：如右图所示．方法一　由题意知A为PQ的中点，B为QR的中点，∴PR∥AB且PR＝2AB，∴＝2·＝2(－)＝2(b－a)．方法二　＝－，在△OQR中，B为QR中点，∴2＝＋，∴＝2－.同理有2＝＋，∴＝2－.则＝2－－(2－)＝2b－－2a＋＝2b－2a.