2017年高考数学知识方法专题2-不等式与线性规划第3练 “三个二次”的转化与应用

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1、第3练　“三个二次”的转化与应用[题型分析·高考展望]　“二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具.如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力.体验高考1.(2015·陕西)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的

2、，则错误的结论是(　　)A.－1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2，8)在曲线y＝f(x)上答案　A解析　A正确等价于a－b＋c＝0，①B正确等价于b＝－2a，②C正确等价于＝3，③D正确等价于4a＋2b＋c＝8.④下面分情况验证，若A错，由②、③、④组成的方程组的解为符合题意；若B错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错，由①、②、④组成方程组，经验证a无整数解；若D错，由①、②、③组成的方程组a的解为－也不是整数.综上，故选A.2.(2

3、015·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　方法一　当x>2时，g(x)＝x＋b－4，f(x)＝(x－2)2；当0≤x≤2时，g(x)＝b－x，f(x)＝2－x；当x<0时，g(x)＝b－x2，f(x)＝2＋x.由于函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，所以方程f(x)－g(x)＝0恰有4个根.当b＝0时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解；当

4、0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x－(－x)＝0，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解.所以b≠0，排除答案B.当b＝2时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为(x－2)2＝x－2，得x＝2(舍去)或x＝3，有1解；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝2－x，有无数个解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x2＝x＋2，得x＝0(舍去)或x＝－1，有1解.所以b≠2，排除答案A.当b＝1时，当x>2时，方程f(x

5、)－g(x)＝0可化为x2－5x＋7＝0，无解；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为1－x＝2－x，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋1＝0，无解.所以b≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二　记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由解得b′＝－，－－(－4)＝，所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，

6、因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点.选D.3.(2016·江苏)函数y＝的定义域是________.答案　[－3，1]解析　要使原函数有意义，需且仅需3－2x－x2≥0.解得－3≤x≤1.故函数定义域为[－3，1].4.(2016·山东)已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.答案　(3，＋∞)解析　如图，当x≤m时，f(x)＝

7、x

8、；当x>m时，f(x)＝x2

9、－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<

10、m

11、.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.5.(2015·浙江)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是

12、f(x)

13、在区间[－1，1]上的最大值.(1)证明：当

14、a

15、≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求

16、a

17、＋

18、b

19、的最大值.(1)证明　由f(x)＝2＋b－，得对称轴为直线x＝－.由

20、a

21、≥2，得

22、－

23、≥1，故f(x)在[－1，1]上单

24、调，所以M(a，b)＝max{

25、f(1)

26、，

27、f(－1)

28、}.当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.综上，当

29、a

30、≥2时，M(a，b)≥2.(2)解　由M(a，b)≤2得

31、1＋a＋b

32、＝

33、f(1)

34、≤2，

35、1－a＋b

36、＝

37、f(－1)

38、≤2，故

39、a＋b

40、