第五章 分式与分式方程1

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主备人张正翥审签人审签时间课题1．认识分式（一）第课时学情分析学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的．在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系，其中包括整式与分式等数量关系．在整式的学习中，学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系，建立数学模型的思想．在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力．教学目标1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．教学重点明确分式和整式的区别；教学难点明确分式和整式的区别；教学过程师生教学活动设计议课及二次备课第一环节知识准备问题：下列子中那些是整式？a，-3x2y3，5x-1，x2+xy+y2，第二环节情景引入问题情景（1）：面对目前严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成一原计划的任务。这一问题中有哪些等量关系？如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工需要29 个月，实际完成一期工程用了个月。问题情景（2）：新华书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，新华书店这种图书的库存量是多少？第三环节自主探索以小组的形式对前面出现的分式进行讨论后得出分式的概念，体会分式的意义．第四环节练习提高例题（1）当a=1，2时，分别求分式的值；（2）当a取何值时，分式有意义？第五环节课堂反馈1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？2、x取什么值时，下列分式无意义？29 所以当x=-2时，分式无意义．3、把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制1千克这种混合饮料需多少甲种饮料？活动目的：体会分式可以表示现实情景中的数量关系，分式是表示现实世界中的一类量的数学模型，学会列分式。第六环节自我小结教后反思常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题1．认识分式（二）第课时学情分析学生在上节课了解了分式的概念，在小学学过分数的基本性质，所以可类比分数的基本性质来学习分式的基本性质，在上节课已初步掌握了类比的学习方法，在前几章中还学习了分解因式，这些都为本节课的学习奠定基础．在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力．教学目标1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力；29 3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力．。教学重点理解分式的基本性质教学难点理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分教学过程师生教学活动设计议课及二次备课第一环节知识准备问题：的依据是什么？第二环节情景引入问题：你认为分式与相等吗？与呢？第三环节例题讲解例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的?（1）（2）例2、化简下列分式：（1）（2）实际教学例1下列等式的右边是怎样从左边得到的?（1）（2）第四环节课堂反馈做一做1．填空29 （1）（2）2．化简（1）（2）议一议在时，米仓和阿呆出现了分歧，米仓认为=，而阿呆认为=，你对他们的做法有何看法?与同伴交流．第五环节课堂小结教后反思29 常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题2．分式的乘除法第课时学情分析学生在小学已经学过分数的乘除法，掌握了分数的乘除法法则，在学习分式的乘除法法则时可通过与分数的乘除法法则进行类比学习。在前面学习了整式乘法和因式分解，为分式的运算和结果的化简奠定基础。在过去的数学学习过程中，学生已初步具备观察、分析、归纳的能力和类比的学习方法。教学目标1.类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。2.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题。4.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。教学重点理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分教学难点会进行简单的分式的乘除法运算师生教学活动设计议课及二次备课29 教学过程第一环节复习旧知识复习小学学过的分数的乘除法运算。1、计算，并说出分数的乘除法的法则：（1）（2）；　　第二环节引入新课猜一猜：；你能总结分式乘除法的法则吗？与同伴交流。，分式的乘除法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.第三环节知识运用例题1:（1）（2）例题2（1）（2）例题329 通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为(其中R为球的半径),那么，(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴交流第四环节课堂反馈化简：（1）（2）（3）第五环节课堂小结1．分式的乘除法的法则2．分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.3.学会类比的数学方法教后反思常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题3．分式的加减法（一）第课时29 学情分析学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，如实数的加减运算类比整式的合并同类项；由在时的值的情况去猜测时的情况，由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的乘法等，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。教学目标1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰教学重点同分母分式的加减法法则。教学难点同分母分式的加减法法则。教学过程师生教学活动设计议课及二次备课第一环节情景引入做一做：猜一猜运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为：第二环节同分母加减例1（1）；（2）；29 （3）；（4）.在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简。第三环节练习巩固练一练(1);(2);(3);第四环节拓展提高例2计算（1）；（2）.练一练（1）（2）（3）第五环节课堂小结1、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。分母不变，把分子相加减。2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法。3、分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算。4、类比方法很多时候是对的哦，学会用这种方法去分析和解决问题。第六环节布置作业提升训练（选做）29 （1）（2）教后反思常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题3．分式的加减法（二）第课时学情分析学生在上节课已经学习过同分母的分式相加减及分母互为相反式分式的加减运算。在第四章又学习了因式分解，在本章的前面几节课中，回忆了分数的基本性质，学习了分式的基本性质、分式的约分及分式的乘除等。对这节课异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫。从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模的思想，用代数式去解决实际问题的经验。同时在以前的学习中，学生也经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。29 教学目标1、会找最简公分母，能进行分式的通分；2、理解并掌握异分母分式加减法的法则；3、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。教学重点理解并掌握异分母分式加减法的法则；教学难点异分母分式的加减运算和通分教学过程师生教学活动设计议课及二次备课第一环节问题引入问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？问题2：异分母分数又是如何进行加减？问题3：那么?你是怎么做的？第二环节学习新知（1）议一议小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：小明：小亮：你对这两种做法有何评论？与同伴交流。（2）异分母分式加减法的法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．用式子表示为：.第三环节运用新知例3（1）；（2）；（3）29 .在化成同分母分式的过程中，学生可能会出现一些麻烦，这要求我们根据具体情况加以引导，关键还是一个类比思想起主导，最简公分母类比最小公倍数。同时还要疏导学生在（3）题中出现小明的问题，开始渗透分母是多项式的且可以进行因式分解时，应分解因式后再通分。同样，对于通分后的分子是多项式的也要先添括号后再进行运算。第四环节小试牛刀1、将下列各组分式通分：；2、计算：；；第五环节分式加减的应用例4小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2vkm/h．小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h．那么（1）小刚从家到学校需要多长时间？（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？第六环节拓展提高用两种方法计算：.第七环节课堂小结教后29 反思常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题3．分式的加减法（三）第课时学情分析学生在前两节课已经学习同分母分式、异分母分式的加减运算及法则。在第四章学习了因式分解，对这节课异分母分式相加减和分式求值及应用内容的学习都有了充分的铺垫。从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模的思想，用代数式去解决实际问题的经验。同时在以前的学习中，学生也经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。教学目标1、进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；2、提高学生对代数式化简变形的能力；3、能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；4、会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意思。教学重点多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；教学难点能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值师生教学活动设计议课及二次备课29 教学过程第一环节复习引入同分母分式是怎样进行加减运算的？异分母分式呢？；；.第二环节学习新知；.第三环节练习巩固计算：；；.；；第四环节再探分式加减的应用例6已知，求的值.与同伴交流你有几种解法？做一做根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m的盲道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道xm，那么（1）原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？第五环节巩固提高1、先化简，再求值：1、已知，求的值.29 1、已知，求的值.2、某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水at，bt．若单独开放A进水管，ph可将该水池注满．如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？第六环节课堂小结异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。1、分式的化简求值及变形。2、实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题。教后反思常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题4．分式方程（一）第课时学情分析能熟练准确地解一元一次方程；已学过分式的定义；了解分式有意义的条件；能利用分式的基本性质进行约分通分；课前预习知晓分式方程的概念。29 八年级的学生已经具备了一定的自主探究能力和分析问题的能力，并对发现新问题以及寻求解决办法有相当的兴趣和积极的愿望．教学目标1理解分式方程的概念；2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。3．在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。教学重点理解分式方程的概念教学难点能够根据实际问题建立分式方程的数学模型教学过程师生教学活动设计议课及二次备课第一环节引入新课在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题。面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要＿＿＿个月，实际完成一期工程用了＿＿＿＿个月，根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。第二环节探究新知甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？29 第三环节感悟升华：回顾刚才我们得出的4个方程：（1）（2）（3）（4）分式方程与整式方程的区别：分式方程中分母含有未知数，而整式方程中的分母不含有未知数。第四环节课堂反馈1.找找看,下列方程哪些是分式方程：（1）（2）（3）（4）2.“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程．某地规划退耕面积共69000，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3．设退耕还林的面积为x，那么x满足怎样的分式方程?3、王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么x满足怎样的分式方程?等量关系。第五环节自我小结教后反思29 常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题4．分式方程（二）第课时学情分析学生基本了解分式方程的概念，如何寻找最简公分母，熟悉等式的性质并能利用等式的性质解一元一次方程中，了解一般一元一次方程的解法,去分母,去括号,移项,合并同类项,化系数为1,并理解每一步的根据是什么,从而能通过观察类比的方法，探索分式方程的解法并能理解解题步骤的根据.本节课主要采用观察、类比的方法、讨论的形式，学生比较熟悉，能在二元一次方程转化为一元一次方程的基础上，再次体会数学转化思想．．教学目标1.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤；2.经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.3.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.教学重点掌握解分式方程的基本方法和步骤教学难点认识到能将分式方程转化为整式方程师生教学活动设计议课及二次备课29 教学过程第一环节复习回顾1．请写出与的最简公分母.2．解一元一次方程第二环节探究新知例1.解下列分式方程：　　　　　第三环节小试牛刀例2.解方程第四环节感悟升华下列哪种解法准确？例3.解分式方程解法一：将原方程变形为方程两边都乘以,得：解这个方程，得：解法二：将原方程变形为方程两边都乘以,得：解这个方程，得：你认为是原方程的根？与同伴交流。第五环节巩固练习解方程：（1）（2）29 活。第六环节自我小结1、解分式方程的基本思路是什么？2、解分式方程有哪几个步骤？3、什么是分式方程的增根？4、验根有哪几种方法？教后反思常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题4．分式方程（三）第课时学情分析29 前两节课，学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会解分式方程，为本节课用分式方程解决生活中实际问题打下了基础.在本节第一课时学生已经历用分式方程来刻画现实世界问题的过程，也经历了探索解分式方程的过程，获得了一些数学活动经验和体验，同时在以前学习了列一元一次方程、二元一次方程组解应用题，为本节分式方程的应用打下了基础.教学目标1.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性；2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．教学重点学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会解分式方程教学难点学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会解分式方程教学过程师生教学活动设计议课及二次备课第一环节复习回顾1.解分式方程的一般步骤：2.解方程3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？第二环节探究新知例1.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？第三环节小试牛刀29 例2.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5，求该市今年居民用水的价格．第四环节感悟升华小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？1.某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%。求这种服装的成本.2.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？第五环节自我小结29 教后反思常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题回顾与思考（一）第课时学情分析学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉．在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．教学目标（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；（2）提高学生分式的基本运算技能．（3）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；教学重点进一步熟悉分式的意义及分式的运算；教学难点提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力师生教学活动设计议课及二次备课29 教学过程第一环节复习回顾1、分式的基本性质是什么？举例说明！2、分式的乘除法的法则是什么？举例说明！3、同分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！4、异分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！第二环节想一想（1）如果某商品降价x%后售价为a元，那么该商品的原价是元（2）某人打靶，有m次均打中a环，有n次均打中b环，则此人平均每次中靶的环数是．（3）当x时，分式有意义．（4）当x时，分式的值为0．第三环节做一做1、化简下列各式：（1）（2）（3）（4）2、计算：（1）（2）（3）（4）第四环节试一试先化简，后求值：，其中x=–1．第五环节想一想1、已知：，求的值．2、已知：，求的值．29 3、已知：，求的值．第六环节反馈练习1、选择：（1）使分式有意义的是（）A、B、C、D、（2）若4x=5y，则的值是（）A、B、C、D、2、填空：（1）计算：=；（2）计算：；3、已知：，求的值．教后反思常规检查签字检查时间主备人张正翥审签人审签时间课题回顾与思考（二）第课时学情分析29 学生已经学习了分式方程及分式方程应用题等有关概念，对解决与分式方程相关的实际问题有了一定的基础与认识．在学习解方程及解决方程的应用题等实际问题的过程中，学生已经经历了观察、探究、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．教学目标数学能力：（1）通过解分式方程，使学生了解转化的思想方法；（2）关注对算理的理解，发展学生的代数表达能力，运算能力和有条理地思考问题的能力；（2）提高学生解决实际问题的能力，发展学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力．情感与态度：（1）让学生了解数学与生活是不可分离的，生活是数学的载体；（2）通过经历观察、归纳、类比、猜想等思维过程，进而学会反思自己的思维过程教学重点能熟练地解分式方程教学难点通过解分式方程，使学生了解转化的思想方法教学过程师生教学活动设计议课及二次备课第一环节回顾1、解分式方程有哪些步骤？2、解分式方程应用题有哪些步骤？第二环节做一做解下列分式方程：（1）（2）（3）（4）第三环节试一试29 1、在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．2、A、B两地相距80千米，甲骑车从A地出发1小时后，乙也从A地出发，用相当于甲1.5倍的速度追赶，当追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙的速度．第四环节想一想某顾客第一次在商店买了若干件小商品花去了5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他这一次购买该小商品的数量是第一次的两倍，这样，第二次共花去2元，问他第一次买的小商品是多少件？第五环节反馈练习1、选择题：（1）一个工人生产零件，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26天里完成且多生产10个，若设原计划每天生产x个，则这个工人原计划每天生产多少个零件？根据题意可列方程（）A、B、C、D、（2）几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设参加旅游的学生共有x人，则根据题意可列方程（）。A、B、C、D、2、解下列方程：（1）（2）29 3、某厂第一车间加工一批毛衣，4天完成了任务的一半，这时，第二车间加入，两车间共同工作两天后就完成了任务并超额完成任务的，求第二车间单独加工这批毛衣所用的天数．教后反思常规检查签字检查时间29