《2.3.2平面向量的坐标运算》教学案

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1、《2.3.2平面向量的坐标运算》教学案(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算．(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．过程与方法(1)通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用．(2)通过学习平面向量共线的坐标表示及应用，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勤于思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．●重点难点重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算．难点：平面向量平行条

2、件的理解．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量的坐标的概念教学教学时，建议教师从学生熟悉的平面向量基本定理出发，结合物理知识中力的正交分解，自然引出向量的正交分解，并类比平面直角坐标系中“点与坐标”的关系，得出“平面向量的坐标”的概念，并强调指出平面直角坐标系中“点的坐标同以原点为起点的向量是一一对应的”．2．关于平面向量的坐标的线性运算的教学教学时，建议教师让学生结合向量加、减及数乘向量的定义和向量的坐标的概念自主推导出平面向量的坐标的线性运算，并就每种运算的特征加以概括；在此基础上要求学生通过练习熟练掌

3、握平面向量的坐标的线性运算．3．关于平面向量平行的坐标表示的教学教学时，建议教师引导学生从向量共线定理出发，自主推导出向量共线时的坐标关系，并会应用向量的坐标关系解决与平行有关的平面几何证明问题．●教学流程⇒⇒引导学生结合向量共线定理，推导出向量平行的坐标表示，并总结利用向量坐标关系判断向量平行的方法.⇒⇒⇒⇒⇒课前自主导学课标解读1.理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标．2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(难点)4.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(重点)

4、平面向量的坐标表示及坐标运算【问题导思】　1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？【提示】　相同．2．如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？【提示】　是一一对应．　(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序实数对

5、(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．(2)平面向量的坐标运算①已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．②已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.向量平行的坐标表示【问题导思】　　设a＝(1，3)，b＝(2，6)，向量b与a共线吗？【提示】　b＝(2，6)＝2

6、(1，3)＝2a，∴b与a共线．　设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.课堂互动探究向量的坐标表示图2－3－10例1　在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图2－3－10所示，且

7、a

8、＝2，

9、b

10、＝3，

11、c

12、＝4，分别计算出它们的坐标．【思路探究】　利用三角函数求出各向量在x轴、y轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．【自主解答】　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝

13、a

14、

15、cos45°＝2×＝，a2＝

16、a

17、sin45°＝2×＝，b1＝

18、b

19、cos120°＝3×(－)＝－，b2＝

20、b

21、sin120°＝3×＝，c1＝

22、c

23、cos(－30°)＝4×＝2，c2＝

24、c

25、sin(－30°)＝4×(－)＝－2.因此a＝(，)，b＝(－，)，c＝(2，－2)．规律方法1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．变式训练图2－3－11　如图2－3－11，

26、已知O是坐标原点，点A在第二象限，

27、

28、＝2，∠xOA＝150°，求向量的坐标．【解】　过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝

29、

30、cos150°＝－，y＝

31、

32、sin150°＝1.所以的坐标为(－，1).平面向量的坐标运算例2　(1)若a＝(1，－3)，b＝(－2