《4.4.3 参数方程的应用》习题1

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1、1．已知直线l经过点P(1，－3)，倾斜角为，求直线l与直线l′：y＝x－2的交点Q与点P的距离

2、PQ

3、.【解】　∵l过点P(1，－3)，倾斜角为，∴l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．代入y＝x－2，得－3＋t＝1＋t－2，解得t＝4＋2，即t＝2＋4为直线l与l′的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义，可知

4、t

5、＝PQ，∴PQ＝4＋2.2．求直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长．【解】　将代入圆的方程x2＋y2＝9，得5t2＋8t－4＝0，t1＋t2＝－，t1t2＝－.

6、t1－t2

7、2＝(

8、t1＋t2)2－4t1t2＝＋＝，所以弦长＝

9、t1－t2

10、＝·＝.3．已知椭圆＋＝1和点P(2，1)，过P作椭圆的弦，并使点P为弦的中点，求弦所在的直线方程．【解】　设弦所在直线的参数方程为(t为参数)，代入椭圆方程＋＝1，得(cos2α＋4sin2α)·t2＋4(cosα＋2sinα)t－8＝0，所以t1＋t2＝－，因为P是弦的中点，所以t1＋t2＝0，即－＝0，所以cosα＋2sinα＝0，tanα＝－.又P(2，1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.4．过抛物线y2＝2

11、px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，求线段AB中点M的轨迹的普通方程．【解】　由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA的方程为y＝kx，则OB的方程为y＝－x，解得或所以A点坐标为(，)．同理可求得B点坐标为(2pk2，－2pk)．设AB中点M的坐标为(x，y)，则消去k得y2＝px－2p2.所以点M的轨迹方程为y2＝px－2p2.5．(2012·湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，试求a的值．【解】　∵消

12、去参数t得2x＋y－3＝0.又消去参数θ得＋＝1.方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，将(，0)代入＋＝1，得＝1.又a>0，∴a＝.6．已知直线l经过点P(1，0)，倾斜角为α＝.(1)写出直线l的参数方程；(2)设直线l与椭圆x2＋4y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【解】　(1)直线l的参数方程为即(t为参数)．(2)联立直线与圆的方程得(1＋t)2＋4()2＝4，∴t2＋t－3＝0，所以t1t2＝－，即

13、t1

14、

15、t2

16、＝.所以P到A、B两点的距离之积为.7．已知抛物线y2＝8x的焦

17、点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．(1)求AB；(2)求AB的中点M的坐标及FM.【解】　抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，依题意，设直线AB的参数方程为(t为参数)，其中tanα＝2，cosα＝，sinα＝，α为直线AB的倾斜角，代入y2＝8x整理得t2－2t－20＝0.则t1＋t2＝2，t1t2＝－20.(1)AB＝

18、t2－t1

19、＝＝＝10.(2)由于AB的中点为M，故点M对应的参数为＝，∴M(3，2)，FM＝

20、

21、＝.教师备选8．如图所示，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y

22、2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P，M间的距离PM；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长．【解】　(1)∵直线l过点P(2，0)，斜率为，设直线l的倾斜角为α，则tanα＝，cosα＝，sinα＝，∴直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)．(*)∵直线l和抛物线相交，∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝，t1t2＝－.由M为线段AB的中点，根据t的几

23、何意义，得PM＝＝.(2)因为中点M所对应的参数为tM＝，将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，得即M(，)．(3)AB＝

24、t1－t2

25、＝＝.