《4.4.3 参数方程的应用》习题2

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1、1．当x2＋y2＝4时，求u＝x2＋2xy－y2的最值．【解】　设(0≤θ<2π)，于是u＝x2＋2xy－y2＝4cos2θ＋8cosθsinθ－4sin2θ＝4cos2θ＋4sin2θ＝8sin(2θ＋)．所以，当θ＝，x＝，y＝1时，或θ＝，x＝－，y＝－1时，umax＝8；当θ＝，x＝－1，y＝时，或θ＝，x＝1，y＝－时，umin＝－8.2．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．【解】　令x－1＝2cosθ，y＋2＝2sinθ，则有x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ－2，故2x＋y＝4cosθ＋2＋2sinθ－2＝4cosθ＋2sin

2、θ＝2sin(θ＋φ)(tanφ＝2)．∴－2≤2x＋y≤2.即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.3．过点P(－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长．【解】　直线的参数方程为(s为参数)，曲线(t为参数)可以化为x2－y2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s2－6s＋10＝0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1＋s2＝6，s1s2＝10.AB＝

3、s1－s2

4、＝＝2.4．已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】　设椭圆的方程为＋＝1，A(a，

5、0)，设P(acosθ，bsinθ)是椭圆上一点，则＝(acosθ－a，bsinθ)，＝(acosθ，bsinθ)，由于∠OPA＝90°，所以·＝0，即(acosθ－a)acosθ＋b2sin2θ＝0，a2(cos2θ－cosθ)＋b2sin2θ＝0，a2cosθ(cosθ－1)＋b2(1＋cosθ)(1－cosθ)＝0.因为P与A不重合，所以cosθ－1≠0，则a2cosθ＝b2(1＋cosθ)，＝，＝1－＝1－＝.因为θ∈(0，)∪(π，2π)，所以∈(，1)，e∈(，1)．5．已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于

6、P、Q两点，求证：OP·OQ为定值．【证明】　设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0，1)．则MB1的方程：y＋1＝·x，令y＝0，则x＝，即OP＝

7、

8、.MB2的方程：y－1＝x，令y＝0，则x＝.∴OQ＝

9、

10、.∴OP·OQ＝

11、

12、×

13、

14、＝4.即OP·OQ＝4为定值．6．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)，(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为

15、x2＋y2＝1.联立方程组解得C1与C2的交点为(1，0)，(，－)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为(α为参数)，P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝，故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．7．求椭圆C：＋＝1上的点P到直线l：3x＋4y＋18＝0的距离的最小值．【解】　设点P的坐标为(4cosθ，3sinθ)，其中θ∈[0，2π)，则点P到直线l的距离d＝＝＝≥，当sin(θ＋)＝－1时，等号成立．因为θ∈[0，2π)，所以θ＝.所以当θ＝时，d取得

16、最小值.教师备选8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为，其中θ为参数．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos(θ＋)＝3.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值．【解】　直线l的普通方程为：x－y－3＝0，设椭圆C上的点到直线l距离为d.d＝＝∴当sin(θ－)＝1时，dmax＝2，当sin(θ－)＝－1时，dmin＝.