2012-固体理论第二章声子-第二讲

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1、经典专著推荐阅读SolidStateTheoryWalterA.HarrisonProfessorofAppliedPhysicsStanfordUniversityMcGraw-HillBookCompany第二章声子§2.5长波方法（一）——声学模长波近似下的声子有着重要的作用。声频支代表同一原胞中各基元（原子）的质心运动，复式晶格的声学模也可以用简单晶格方法进行处理，只需认为M是原胞中原子的总质量。第二章声子对于长波长的晶格振动，其振幅在原胞间缓慢变化，晶体结构的原子性对此影响不大。可以过渡

2、到连续介质模型：则有：引入位移场：第二章声子u(r)也是t的函数，作泰勒展开：再定义密度为：第二章声子故动能可以改写为：注意：动能密度第二章声子晶体中的振动势能在简谐近似下较复杂：第二章声子第二章声子第二章声子参数C为弹性系数：势能密度：第二章声子第二章声子具体求解弹性问题时，首先应该考虑对称性，确定弹性系数之间的关系，简化势能密度的表达式。第二章声子晶体的弹性行为可以用应力T、应变S描述。T、S均为二阶对称张量。应力张量T的单位为：N/m2第二章声子应变张量S为无量纲参数：第二章声子由于Tij=

3、Tji;Sij=Sji即T23=T32、T12=T21、T13=T31S23=S32、S12=S21、S13=S31T、S均只有6个独立分量第二章声子可以令：三个法向应力：T11T1;T22T2;T33T3;三个切向应力：T23T4;T13T5;T12T6;第二章声子可以令：三个法向应变：S11S1;S22S2;S33S3;三个切向应变：2S23S4;2S13S5;2S12S6;第二章声子T、S的关系在弹性限度范围内是线性的，即满足广义虎克定律：第二章声子sij为弹性柔顺系

4、数，实际是一个四阶对称张量sikjl，单位为m2/N。sikjl应该有81个分量，做了简化处理后，sij有36个分量。由对称性，sikjl独立的分量最多为21个第二章声子上式也可简化为：第二章声子广义虎克定律也可表示为：第二章声子或者：cij为弹性刚度系数，单位为N/m2，分量形式与sij是一样的，其中独立的分量也是21个。第二章声子例：一维连续介质中的弹性波a）导出弹性波的波动方程，证明波速：Y是杨氏模量，ρ为质量密度b）证明对于一维单原子链。在长波极限下，Y和力常数k有关系：Y＝kaa为点阵常

5、数第二章声子解：a)设一准连续介质，x点的位移为u(x)，x+dx的位移为u(x+dx)，应变为：第二章声子因应变产生的恢复力为：第二章声子考虑dx段，质量为ρdx，运动方程为：第二章声子是一维连续介质中的弹性波的波动方程第二章声子有通解：代入波动方程，有解:第二章声子第二章声子b)一维单原子链，长波极限下的色散关系：第二章声子波速为：第二章声子第二章声子弹性动力学方程如果体积元ΔxΔyΔz在x方向受力，则有：第二章声子当体积元趋于一个点时，方程变为：第二章声子同理有：第二章声子弹性动力学方程为：

6、第二章声子弹性波：张量算符表示弹性动力学方程：第二章声子由（2）式对时间求导：第二章声子第二章声子第二章声子第二章声子设弹性波的传播方向单位矢量为I：波矢为k的弹性波有因子：第二章声子第二章声子第二章声子第二章声子（7）为克利斯托夫（Christoffel）方程第二章声子(7)式可以写成：第二章声子为克利斯托夫模量第二章声子例如：第二章声子由（8）式可以求出三个ceff，对应于三个弹性波。波速分别为：第二章声子对于立方晶体，由对称性有：第二章声子由（8）式，对于立方晶体，有：第二章声子如果沿晶轴传

7、播，则有简化式，如沿[100]传播，此时ly=lz=0;lx=1：第二章声子方程有三个根：对应的波速：第二章声子将计算得到的c1代入（8）式，有：表明质点位移的方向与传播方向一致，是纵波第二章声子将计算得到的c2或c3代入（8）式，有：表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波第二章声子对于：由于质点位移在y、z方向同时存在，故合位移多为椭圆偏振的。第二章声子对于沿[110]方向传播的弹性波，有：第二章声子第二章声子相应的传播速度为：第二章声子将计算得到的c1代入（8）式，有：表明质点位移的方向与传

8、播方向一致，是纵波第二章声子将计算得到的c2代入（8）式，有：表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波第二章声子将计算得到的c3代入（8）式，有：表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波第二章声子可以看出，对于立方晶体：沿某一方向传播的弹性波，一般有三个模式。[110]方向：一个纵波；两个横波[100]方向：一个纵波；两个横波是简并的第二章声子但对于对称性差的晶体：在某一方向传播的弹性波，虽有三个模式；往往不是纯纵波；或纯横波。多为纵波和横波的耦合形式，称为准纵波或准横波第二章声子