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《§5.3相似矩阵与对角化(吕)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5.3相似矩阵一、相似矩阵的概念二、相似矩阵的性质三、n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件一、相似矩阵的概念定义1设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B。称P为相似变换矩阵。相似关系是矩阵间的一种等价关系，即满足自反性：A~A，对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~Ｃ，则A~Ｃ1.如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。即若A~B，则
2、lE-A
3、=
4、lE-B
5、
6、lE-B
7、=
8、P-1(lE)P-P-1AP
9、=
10、lE-P-1AP
11、
12、=
13、P-1(lE-A)P
14、=
15、P-1
16、
17、lE-A
18、
19、P
20、=
21、lE-A
22、，二、相似矩阵的性质A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值。2.相似矩阵的行列式相等。即若A~B，则
23、A
24、=
25、B
26、
27、B
28、=
29、P-1AP
30、=
31、P-1
32、
33、A
34、
35、P
36、=
37、A
38、
39、P-1P
40、=
41、A
42、证明：因为P-1AP=B，3.相似矩阵有相同的迹。即若A~B，则相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。若都可逆，其逆矩阵也相似。5.相似矩阵有相同的秩。即若A~B，则R（A）=R（B）注意：以上性质均为相似的必要条件，可以用来排除哪些矩阵不相似。利用对
43、角矩阵计算矩阵多项式k个利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.定理证明例1若求x，y．解得：x=-17,y=-12解：由于Ａ和Ｂ相似，所以tr(A)=tr(B),
44、A
45、=
46、B
47、,即22+x=1+422x-31y=4-6解：由于矩阵Ａ和Ｄ相似，所以
48、A
49、=
50、D
51、,即
52、A
53、=
54、D
55、＝12.例２设3阶方阵A相似于矩阵，求
56、A
57、．=(l1X1,l2X2,,lnXn)(X1,X2,,Xn)l1000l2000ln思考题=?三、n阶方阵与对角矩阵相似的条件相似矩阵具有
58、许多共同的性质，因此，对于n阶方阵A，我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵。在研究A的性质时，只需先研究这一较简单矩阵的同类性质。下页若方阵A与一个对角阵L相似，则称方阵A可对角化。记为A~L，并称L是A的相似标准形。问n阶方阵A与一个对角矩阵L相似的条件？定理4.3n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。必要性，设存在可逆矩阵P=(X1,X2,,Xn)使P-1AP=L，即AP=PL则有可得AXi=liXi(i=1,2,
59、,n)。表明L的对角线元素li是A的特征值，而可逆矩阵P的列向量X1,X2,,Xn都是非零向量，因而都是A的特征向量。由于P可逆，这n个特征向量X1,X2,,Xn线性无关。l1000l2000lnA(X1,X2,,Xn)=(X1,X2,,Xn)证明：(AX1,AX2,,AXn)=(l1X1,l2X2,,lnXn)P165TH5.2.1定理4.3n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n
60、个线性无关的特征向量。证明：充分性，设X1,X2,,Xn为A的n个线性无关特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有AXi=liXi(i=1,2,,n)。令P=(X1,X2,,Xn)，则=(l1X1,l2X2,,lnXn)=A(X1,X2,,Xn)=(AX1,AX2,,AXn)AP=(X1,X2,,Xn)l1000l2000ln=PL因为（X1,X2,,Xn)线性无关，所以P可逆。用P-1左乘上式两端得P
61、-1AP=L，即矩阵A与对角矩阵L相似。不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。即设是矩阵A的不同的特征值，又设对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为则仍是线性无关的。引理讨论：（1）如何判断一个方阵可对角化？（2）如何写出相似变换矩阵及相似对角阵？设X1，X2，，Xn为A的n个线性无关特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则取P=(X1,X2,,Xn)，L=diag(l1,l2,,ln)。则P-1AP=L下页方阵可对角化的充分条件推论
62、若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则A与对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似。（因A有n个线性无关的特征向量）设的所有不同的特征值为则注：就是的重根数，称之为的(代数)重数，就是对应的最大无关特征向量的个数，称之为的几何重数。该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单重特征值
