中线倍长法与截长补短经典讲义

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1、--几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD﹤12ABCDE(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。例2、中线一倍辅助线作法AA方式1：延长AD到E，△ABC中AD是BC边中线DC使DE=AD，B连接BEBCD方式2：间接倍长EAAM延长MD到N，方式3：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于EDC使DN=MD，

2、F连接BEB连接CDBDCNAE----例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围D例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DEBC交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEFEA课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，CBED求证：∠C=∠BAE----1----作业：1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论B与DC的延长线ADECF----2、已知：如图，ABC中，C=90，CMA

3、B于M，AT平分BACMA交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.DBECT3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF（二）截长补短法A教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的D性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.BC例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD图1-1平分∠ABC.求证：∠BAD

4、+∠BCD=180°.----分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA----的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△CDF中，EAD----DEDFADCD∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°.BFC图1-2----2----例2.如图

5、2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证=即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.DFDA证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2在△与△中，FCEBCEDCFCBAFCEBCECECE4∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.3F又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，E21∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.C在△

6、FDE与△ADE中，B图2-2FDEADEDEDE34∴△≌△（），∴=，FDEADEASADFDA∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.----证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2ANP----∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，--

7、--PEPDBPBP12BDC----图3-1∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即E----NA=-=.PDCBEABAE在Rt△APE与Rt△CPD中,----PEPDPEAPDCAEDC12BDCA图3-2----∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD12又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°例4.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.CBD图4-1----3----分析：从

8、结论分析，“截长”或“补