作辅助线方法--中线倍长法和截长补短法学

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1、几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD﹤(AB+AC) 分析：要证明AD﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。 在△ADB和△

2、EDC中， ∴△ADB≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又在△ACE中， AC+CE＞AE ∴AC+AB＞2AD，即AD﹤(AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 练习:中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC12例2:中线倍长辅助线作法△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的

3、延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围过B点作AC的平行线，交AD的延长线于E点，因D点是BC的中点，所以△ADC≌△EDB，从而：AD=ED，EB=AC=7，AE=2AD，在△ABE中，有：BE-AB

4、MC=∠B;∵AB=AC.∴∠B=∠ACB=∠ECM.∴∠EMC=∠ECM,得EM=EC.∵EM∥AB.∴∠BDF=∠MEF;又DF=EF,∠BFD=∠MFE.∴⊿BDF≌⊿MEF(ASA),BD=EM=CE12练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF证明：延长AD到G,使AD=DG连结BG得:△DGB在△ADC,△GDB中DC=DB(点D为中点)∠ADC=∠GDB(对顶角)AD=GD∴△ADC≌△GDB(SAS)∴∠ACD=∠GBD∴AC‖GB(内错角相等

5、,两直线平行)∴∠DAC=∠DGB(内错角)∵AC=BG=BE∴∠DGB=∠DEB(等边对等角)而∠DEB=∠FEA(对顶角)∴∠DGB=∠DEB=∠FEA=∠FAE(等量代换)∴FA=FE(等角对等边)例5：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分12练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE证明：∵∠BDA=∠BAD∴AB=BD又∵CD=AB∴AB:BC=1:2∵E是中点∴BE:BD=BE:AB=1:2三角形ABE和三角形ABC

6、中角B相同，2边成比例，2三角形相似∴∠C=∠BAE12作业：1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论结论：AB=AF+CF证明：分别延长AE,DF交于点M∵E是BC中点∴BE=CE∵AB//CD∴∠BAE=∠M在△ABE与△MCE中∠BAE=∠M∠AEB=∠MECBE=CE∴△ABE≌△MCE(AAS)∴AB=MC∵∠BAE=∠EAF∴∠M=∠EAF∴MF=AF∵MC=MF+CE∴AB=AF+CF2、已知：如

7、图，DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF124：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论（二）截长补短法图1-1例1.已知，如图1-

8、1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.图1-2分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”