资源描述：
《双曲线知识梳理及考点分析例题精讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、双曲线知识梳理及考点分析例题精讲1．双曲线的概念我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于
2、F1F2
3、)的点集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M
4、
5、
6、FM1
7、－
8、MF2
9、
10、＝2a}，
11、F1F2
12、＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形
13、性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴:坐标轴 对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长
14、A1A2
15、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
16、B1B2
17、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)-28-3.基础三角形如图，△AOB中，
18、OA
19、＝a，
20、AB
21、＝b，
22、
23、OB
24、＝c，tan∠AOB＝，△OF2D中，
25、F2D
26、＝b.4、等轴双曲线等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为.案例分析：考点一、双曲线的定义例1、若点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0且为常数)为两个不同的定点，且动点M满足
27、MF1
28、－
29、MF2
30、＝2a(2a≥0且a为常数)．求动点M的轨迹．分析：要紧扣双曲线的定义，注意题目中的两个字母c，a的关系，根据不同的大小关系分类讨论．解：若2a＞2c＞0，则点M的轨迹不存在．若2a＝2c＞0，则点M的轨迹是
31、以点F2为端点，且与x轴正方向同向的射线，方程为y＝0(x≥c)．若0＜2a＜2c，则点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，其方程为－＝1(x≥a)．若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，方程为x＝0．变式1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )．A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解析：依题意
32、PM
33、－
34、PN
35、＝2＝
36、MN
37、，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线．变式2．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足
38、PF1
39、
40、－
41、PF2
42、＝2a，则当a＝3和5时，P-28-点的轨迹分别是( )．A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线解析：当a＝3时，
43、PF1
44、－
45、PF2
46、＝6＜
47、F1F2
48、，所以P点轨迹是双曲线的一支；当a＝5时，
49、PF1
50、－
51、PF2
52、＝10＝
53、F1F2
54、，所以P点轨迹是以F2为起点的一条射线．总结：根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线的定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两
55、个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．例2、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[分析] 设动圆M的半径为r，则
56、MC1
57、＝r＋r1，
58、MC2
59、＝r－r2，则
60、MC1
61、－
62、MC2
63、＝r1＋r2＝定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程．[解析] 如图，设动圆M的半径为r，则由已知得
64、MC1
65、＝r＋，
66、MC2
67、＝r－.∴
68、MC1
69、－
70、MC2
71、＝2.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴
72、C1C2
73、＝8，∴2<
74、C1C2
75、.根据双曲线定义
76、知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．[点评] 应用双曲线定义时要注意“绝对值是一常数”，“且该常数小于两定点的距离”，若无“绝对值”三字，则为双曲线一支．变式训练：1、在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.-28-如图，由条件可知
77、BC
78、－
79、BA
80、＝10，且
81、AC
82、＝12，又在△ABC中，有＝＝＝2R，从而＝＝.
83、考点二、双曲线定义的应用例1、若一动点P(x，y)到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之差的绝对值为定值a，讨论点P的轨迹．分析：由于a≥0，
84、AB
85、＝4，所以讨论a应分以下四种情况：a＝0,0＜a＜4，a＝4，a＞4．解：∵
86、AB
87、＝4，∴(1)当a＝0时，轨迹是线段AB的垂直平分线，即y轴，方程为x＝0；(2)当0＜a＜4时，轨迹是以A，B为焦点的双曲线；(3)当a＝4时，
