《圆》导学案(原创最好版)

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1、《§24.1.5（补充）与圆有关的角的综合　》教学设计学习目标1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论；2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。一、导学探究知识概述一、圆心角：1、　　　　　　　　　　的角叫圆心角.2、圆心角定理：在　　　　　　　　中，相等的圆心角所对的　　　相等，所对的　　　　也相等；3、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个　　　、两条　　、两条　　、两条弦的　　　中有一组量相等，其余各组量都相等。二、圆周角1、顶点在　　，两条边　　　　　　的角叫做圆周角．2、

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　　　　．3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角　　　　；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧　　　　．推论2：　　　(或　　)所对的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是　　　．4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角　　　．推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的　　　　．二、精讲多动一、加深理解1、对圆周角的理解①如图，∠AOB与∠ACB是对的圆心角与圆周角，故有：∠ACB＝　　∠AOB，反之∠AOB＝　　∠ACB．②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．2、

3、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1：①是圆中证角相等最常用的方法之一．②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的∠1与∠2)．相等的弧相等的弦相等的圆心角相等的圆周角③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这个前提条件，结论不成立(如图中的)．④联系圆心角定理推论可得：在同圆或等圆中，(2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是

4、证明弦是直径常用的办法．3、对圆的内接四边形定理的理解(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角．(2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°)．(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据．(4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置．二、解题方法技巧点拨1、圆心角和圆周角之间的换算例1、已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于P，且∠APD＝60°，∠COB＝30°，求∠ABD的度数．例2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于

5、D，交BC于E．求所对圆心角的度数．点评：(1)辅助线AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．即有直径，得直角.(2)本题还有副产品BE＝EC，你注意了吗？该副产品有时很有用．仿解：如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC＝α,∠ACB＝β.⑴当α＝50°时，求β的度数。⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。2、圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题30　　圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角．　　圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都

6、和圆相交的角．例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，∠P＝28°，∠AQC＝92°，求∠ABC的度数．分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AQC与圆外角∠P可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与∠A(∠C)建立起联系。点评：⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角．⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和．(如图，∠AQC＝∠ABC＋∠A)．⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，∠P＝∠ABC－∠A)．3、与

7、圆周角有关的证明例4、如图，△ABC内接于⊙O，AE⊥BC于D，交⊙O于E，AF为⊙O的直径．⑴求证：∠BAF＝∠CAE．(2)求证：AB·AC＝AD·AF；(3)若过O作ON⊥AB于N，则ON与CE之间有何数量关系？例5、如图，AB是△ABC外接圆O的直径，D为⊙O上一点，且DE⊥CD交BC于E，求证：EB·CD＝DE·AC．　　　　　例6、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：AB2＝BG·BC．例7、已知：⊙O1的圆心O1在⊙O2上，且两圆交于A、B两点，O1D为⊙O2的弦，交

8、⊙O1于C，求证：O1C2＝O1E·O1D．点评：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线．①过弧中点作半径；②连等弧对的圆心角和圆周角；③