椭圆曲线密码学知识简介

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1、第七章椭圆曲线密码学1有关的基本概念(1)无穷远元素（无穷远点，无穷远直线）平面上任意两相异直线的位置关系有相交和平行两种。引入无穷远点，是两种不同关系统一。AB⊥L1，L2∥L1，直线AP由AB起绕A点依逆时针方向转动，P为AP与L1的交点。L2L1P∞BAPQQ=∠BAP→/2AP→L2可设想L1上有一点P∞，它为L2和L1的交点，称之为无穷远点。直线L1上的无穷远点只能有一个。（因为过A点只能有一条平行于L1的直线L2，而两直线的交点只能有一个。）结论：1*.平面上一组相互平行的直线，有公共的无穷远点。（为与无穷远点相区别，把原来平面上的点

2、叫做平常点）2*.平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。原因：若否，则L1和L2有公共的无穷远点P∞，则过两相异点A和P∞有相异两直线，与公理相矛盾。3*.全体无穷远点构成一条无穷远直线。注：欧式平面添加上无穷远点和无穷远直线，自然构成射影平面。(2)齐次坐标解析几何中引入坐标系，用代数的方法研究欧氏空间。这样的坐标法也可推广至摄影平面上，建立平面摄影坐标系。平面上两相异直线L1,L2，其方程分别为：L1:a1x+b1y+c1=0L2:a2x+b2y+c2=0AL1L2P∞其中a1,b1不同时为0；a2,b2也不同时为0。设D=a1b

3、1Dx=b1c1Dy=c1a1a2b2b2c2c2a2若D≠0，则两直线L1,L2相交于一平常点P(x,y)，其坐标为x=Dx/D，y=Dy/D.这组解可表为：x/Dx=y/Dy=1/D(约定：分母Dx，Dy有为0时，对应的分子也要为0）上述表示可抽象为（Dx，Dy，D).若D=0，则L1∥L2，此时L1和L2交于一个无穷远点P∞。这个点P∞可用过原点O且平行于L2的一条直线L来指出他的方向，而这条直线L的方程就是：a2x+b2y=0.为把平常点和无穷远点的坐标统一起来，把点的坐标用（X，Y，Z)表示，X，Y，Z不能同时为0，且对平常点（x，y)来

4、说，有Z≠0，x=X/Z，y=Y/Z，于是有：i.e.X/Dx=Y/Dy=Z/D，有更好的坐标抽象，X,Y,Z),这样对于无穷远点则有Z=0，也成立。注：a).若实数p≠0，则(pX,pY,pZ)与（X,Y,Z)表示同一个点。实质上用（X:Y:Z)表示。3个分量中，只有两个是独立的，具有这种特征的坐标就叫齐次坐标。i.e.b).设有欧氏直线L，它在平面直角坐标系Oxy上的方程为：ax+by+c=0则L上任一平常点(x,y)的齐次坐标为(X,Y,Z)，Z≠0，代入得：aX+bY+cZ=0给L添加的无穷远点的坐标(X,Y,Z)应满足aX+bY=0，Z=

5、0;平面上无穷远直线方程自然为：Z=0!!(3)任意域上的椭圆曲线K为域，K上的摄影平面P2(K)是一些等价类的集合{(X:Y:Z)}。考虑下面的Weierstrass方程(次数为3的齐次方程)：Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2z+a4XZ2+a6Z3(其中系数ai∈K，或ai∈K为K的代数闭域）Weierstrass方程被称为光滑的或非奇异的是指对所有适合以下方程的射影点P=(X:Y:Z)∈P2(K)来说，F(X,Y,Z)=Y2Z+a1XYZ+a3YZ2-X3-a2X2Z-a4XZ2-a6Z3=0在P点的三个偏导数之中至少有一个不为

6、0若否称这个方程为奇异的。椭圆曲线E的定义：椭圆曲线E是一个光滑的Weierstrass方程在P2(K)中的全部解集合。Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3注：a)在椭圆曲线E上恰有一个点，称之为无穷远点。即(0:1:0)用θ表示。b)可用非齐次坐标的形式来表示椭圆曲线的Weierstrass方程:设x=X/Z，y=Y/Z，于是原方程转化为：y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6(1)此时，椭圆曲线E就是方程（1)在射影平面P2(K)上的全部平常点解，外加一个无穷远点θ组成的集合。c)若a1,a2,a

7、2,a4,a6∈K，此时椭圆曲线E被称为定义在K上，用E/K表示。如果E能被限定在K上，那么E的K——有理点集合表示为E(K)，它为E中的全体有理坐标点的集合外加无穷远点θ.(4)实域R上的椭圆曲线设K=R，此时的椭圆曲线可表为平面上的通常曲线上的点，外加无穷远点θ。实域R上椭圆曲线的点的加法运算法则：设L∈P2(R)为一条直线。因为E的方程是三次的，所以L可与E在P2(R)恰有三个交点，记为P,Q,R（注意：如果L与E相切，那么P,Q,R可以不是相异的）。按下述方式定义E上运算：设P,Q∈E，L为联接P,Q的直线（若P=Q，则L取过P点的切线）

8、；设R为L与E的另一个交点；再取连接R与无穷远点的直线L′。则L′与E的另一个交点定义为PQ。PQP=QLLL′L′(P