椭圆曲线在密码学中的应用

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1、椭圆曲线在密码学中的应用毕业论文1前言密码学是一种非常古老但同时又很年轻的科学，为什么这样讲呢，因为大约从人类社会开始出现战争的时候密码就产生了，而后逐渐地发展形成了一门学科[1]，然而到今天为止学者对于密码学的研究仍在继续，所以说密码学既古老又年轻。密码学的出现和成长都与科技飞速发展及各类大小战争脱离不了关系，在它们的刺激下密码学逐步成长并渐渐成熟，其中战争发挥了巨大的作用，直接地积极推进密码学的快速发展。密码学普遍被认为是数学的一个分支，而椭圆曲线作为其中的一种数学研究对象也有大概一百多年的历史了，并随着密码学的发展

2、特别是之后公开密钥密码学的出现及发展而大放异彩，自此开始了从理论知识走向实际应用的道路。现在国际上比较时髦的密码体制也就是我们说的主流密码有：基于大整数因子分解困难的问题而设计的RSA密码体制、基于离散对数问题的困难性而设计的ELGamal密码体制、还有基于椭圆曲线离散对数问题的困难性而设计的椭圆曲线密码体制[1]。本文主要是在前人的基础之上，对密码学中的一个分支即椭圆曲线密码学进行相关的研究讨论。本文的框架结构是：第一部分是前言；第二部分主要介绍密码学的基本概念以及分类。比方说如果按照历史的发展时间来分类，可以将其划分

3、成古典密码和现代密码；而按照密码学的发展历程来看，又可以将其划分成对称密码和非对称密码[1]，其中公开密钥密码就属于非对称密码，比如使用较为广泛的RSA算法以及本文将着重研究讨论的椭圆曲线密码算法；第三部分则是对椭圆曲线进行介绍，椭圆曲线并不是我们通常认为的椭圆图形的曲线，而是在平面上光滑的三次曲线；在第四部分中介绍的内容是本文的核心，也就是基于椭圆曲线的密码体制，而这个密码体制主要由椭圆曲线上点的算术运算决定，该算术运算则是依据这条椭圆曲线所依靠的有限域的算数运算来进行定义的[2]；第五部分介绍了椭圆曲线密码体制的应用

4、同时也是本文着重讨论的部分，其中在电子商务中的应用是最实用的，另外还有智能卡、数字签名、指纹识别等领域的重要应用；最后就是对椭圆曲线密码学的未来发展给予总结并阐述自己的见解和看法。2密码学概述2.1密码学的基本概念及密码体制2.1.1密码学基本概念密码学可以被简单的定义为设计密码和分析密码以保证在不安全信道上的安全通信，由于密码学的应用原理与数学理论知识息息相关，所以也可以说密码学是数学技术中的一种。其实密码学可以简单的理解为将已知的消息进行伪装，方便保护消息使得没有得到授权的人，无法截获信息理解消息的真实含义。为避免这

5、种情况发生可以将数据消息进行一种或几种可逆的数学运算，当完成一次或多次的运算之后就完成了对信息的伪装过程也就是加密过程，最初的原始消息（message）被称为明文（plaintext），通过某种方法一般都是数学运算将其伪装处理后的数据消息叫做密文（ciphertext），伪装隐藏即数据信息处理的过程被称为加密[2]（encrypyion），与之相对应的是解密（decryption）过程：将密文经过与加密过程中相逆运算的变换，也就是处理密文信息消除它的伪装隐藏之后恢复出原始的明文消息[2]。其中加解密的过程都需要在密钥（k

6、ey）的控制下进行，所以密钥是加密和解密的关键所在[1]。2.1.2密码体制一种密码体制也可以称为一个密码系统，它一般都是由五个部分构成：明文空间（全体明文的集合，用来表示），密文空间（全体密文的集合，用来表示），密钥空间[2]（全体密钥的集合，用来表示），加密算法（到的变换由来表示）和解密算法（到的变换由来表示）。其中每个密钥都是由解密密钥和加密密钥构成，即。对于具体的密钥，加密算法就会确定一个加密变换，解密变换就是加密变换的逆交换。明文空间中的每个明文都可以在密钥的控制下通过加密算法来加密成密文，即，同样地在密钥的控

7、制下通过解密算法将密文解密出来同一个明文[2]，即。图1-1表明了这个过程。明文密文明文加密密钥解密密钥加密算法解密算法安全通道图1-1密码体制如果密钥和相等或者通过其中的一个非常容易推出另外一个的话，就称其为单密钥密码体制或者是对称密码体制也可称为传统密码体制，反之就称为双密钥密码体制[2]。还有一种情况是即使将加密密钥公开也无法在计算上推出解密密钥，这样就算公开了加密密钥也不会危及到解密密钥的安全，这种公开了加密密钥的体制称为公开密钥密码体制，这也是密码发展历史上的一个里程碑。2.2密码学的分类密码学可以分为密码编码

8、学和密码分析学，而最开始出现的时候是用于战争中，之后便主要应用在军事、外交及政治等相关部门。而除了应用在传统的例如保密通信、安全信息传递外，现如今计算机的操作系统、网络系统、应用系统及数据库的安全保密问题也都成为了密码学研究的新方向。从密码学的成长历程来看，可以将密码学分成三个在逐渐变得成熟的阶段：首先是手工加密阶段