椭圆曲线知识专题

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1、个性化辅导讲义课题椭圆曲线知识专题教学目标椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）.重点、难点椭圆的定义及椭圆的标准方程.教学难点：椭圆标准方程的推导.考点及考试要求二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。教学内容知识框架1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦

2、点的距离叫做焦距.2．椭圆标准方程的推导：如图，建立直角坐标系，使轴经过点，并且点O与线段的中点重合.设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是，又设M与的距离的和等于常数.椭圆的标准方程：（＞＞0）它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是、，且.如果使点在轴上，点的坐标是，则椭圆方程为（＞＞0）10湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义类型一：椭圆的基本量　　1．指出椭圆的焦点坐标、准线方程和离心率.　　解析：椭圆的方程为，所以，，.　　　　　∴焦点坐标为，10湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义　　　　　准线方程为和，　　　　　离心率.　　

3、总结升华：要将椭圆的方程化为标准形式，才能确定基本几何量.　　举一反三：【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=________【答案】7　　【变式2】椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长=___________.【答案】20　　【变式3】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是（）。　　A．－4≤m≤4且m≠0　　　B．－4＜m＜4且m≠0　　　C．m＞4或m＜－4　　　D．0＜m＜4　【答案】B　　【变式4】已知椭圆mx2+3y2－6m=0的一个焦点为（0，2），求m的值。【答案】m＝5。类

4、型二：椭圆的标准方程　　2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：　　（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；　（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点。　　思路点拨：用待定系数法。　　解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。　　　　∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4　　　　∴b2=a2－c2=52－42=9　　　　∴所求椭圆的标准方程为；　　（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为　　　　由椭圆的定义知，，10湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义　　　　∴　　　　

5、又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6　　　　∴所求椭圆的标准方程为。　　总结升华：求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。　　举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。　　【答案】。　　【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。　　【答案】。　　3．求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。　　解析：设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。　　

6、　　　∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），　　　　　∴∴　　　　　∴所求椭圆方程为。　　总结升华：在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程。在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置。　　举一反三：　　【变式】已知椭圆经过点P（2，0）和点，求椭圆的标准方程。　　【答案】10湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义　　4．求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。　　解析：把方程4x2+9y2=36写成，则其焦距为　　　　　由题知，

7、则，　　　　　∴a=5，b2=a2－c2=52－5=20　　　　　∴所求椭圆的方程为或。　　总结升华：本例中由于没指明焦点所在的坐标轴，所以椭圆的方程应有两种形式。　　【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是（）　　A．　　　B．　　　C．　　D．以上都不对　　【答案】D　　【变式2】椭圆过（3，0）点，离心率，求椭圆的标准方程。　　【答案】或。　　【变式3】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。　　【答案】或。　　【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。　　【答案】或。类型三：求椭圆的离心率或离心

8、率的取值范围　　5．已知椭圆一条准线为，相应焦点为，长轴的一个顶点