概率论与数理统计第四章数字特征

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1、在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数第一节数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望一、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入：X的数学期望E(X)若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每

2、天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？（假定小张每天至多出现三件废品）例如：某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品

3、)一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.定义1设X是离散型随机变量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。若级数绝对收敛，则称级数即的和为随机变量X的数学期望，记为,例101200.20.80120.60.30.1数学期望的性质(4)设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);请注意:由

4、E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立当X为离散型时,它的分布率为P(X=xk)=pk;定理(1)设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.X~B(n,p),若设则X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.E(Xi)==p例2求二项分布X~B(n,p)的数学期望例设(X,Y)的分布律二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0<

5、x1

6、数:Y=g(X)(g是连续函数)该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例2上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。例3例3同离散型，连续型数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立例4把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在

7、第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.由于E(Xk)=P(Xk=1)解:设巧合个数为X,k=1,2,…,n则故引入例5一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)(各旅客是否下车相互独立)按题意本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.六、课堂练习1某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试