最小二乘法与曲线拟合

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1、如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。最小二乘法与曲线拟合为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数,不要求函数完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图5-7所示。图5-7曲线拟合示意图也就是说拟合函数在xi处的偏差(亦

2、称残差）不都严格地等于零。即为矛盾方程组。曲线拟合函数不要求严格地通过所有数据点但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势,要求按某种度量标准最小。若记向量即要求向量的某种范数最小,如的1-范数或∞-范数即为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。为了便于计算、分析与应用，通常要求的2-范数实质仍然是求矛盾方程组的最小二乘解。作拟合直线（1）直线拟合该直线不是通过所有的数据点,而是使偏差平方和设已知数据点,分布大致为一条直线。为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为根据最小二乘原理，应取和使有极小值，故和应满足下列条件：解法一：即得如下正规方程

3、组求解该方程组，解得代人即得拟合曲线。也可将条件带入构成矛盾方程组其中利用解法二：即得如下正规方程组求解该方程组，解得代人即得拟合曲线。例：某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。试确定这种关系。（提示：将拉伸倍数作为x,强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么?）解：设y=a+bx从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。则：解得：a=0.15,b=0.859直线方程为：y=0.15+0.859x计算出它的正规方程得12341.361.371.952.2814.09416.8

4、4418.47520.963用最小二乘法求以上数据的拟合函数例设有某实验数据如下：解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的拟合直线为则正规方程组为解得即得拟合直线将以上数据代入上式正规方程组,得其中（2）多项式拟合有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式拟合。对于给定的一组数据，寻求次数不超过m(m<

5、得即有这是关于系数的线性方程组正则方程组也可利用矛盾方程组来做即有利用123456012345521123用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据例设某实验数据如下：解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求的多项式为由法方程组（5.46）,n=6,经计算得其法方程组为解之得所求的多项式为例1设函数y=f(x)的离散数据如下表所示01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718试用二次多项式拟和上述数据解：设则由可得例：试用最小二乘法求形如的多项式，使之与下列数据拟合。1234529163052解：由题

6、目可知：由可得（3）可化为线性拟合的非线性拟合12345600.511.522.52.01.00.90.60.40.3用最小二乘法求拟合曲线例设某实验数据如下:解:将已给数据点描在坐标系中下图所示,可以看出这些点接近指数曲线,因而可取指数函数作为拟合函数：对函数两边取对数得.令则就得到线性模型得则正规方程组为其中将以上数据代入上式正规方程组，得解得由得于是得到拟合指数函数为由得有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲

7、线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系曲线拟合方程变换关系变换后线性拟合方程