曲线拟合地最小二乘法

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1、第6章 曲线拟合的最小二乘法6.1 拟合曲线　　通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与是相等的。　　如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。图6.1含有“噪声”的数据图6.2一条直线公路与多个景点　　插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离

2、散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。　　向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如：　　用各点误差绝对值的和表示：　　　　用各点误差按模的最大值表示：　　　　用各点误差的平方和表示：　　　　　　或    （6.1）　　其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。　　在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。　　关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德

3、分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。　　在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。　　例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格

4、较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。　　6.2　线性拟合和二次拟合函数　　线性拟合　　给定一组数据，做拟合直线，均方误差为　　　　　　    （6.2）　　是二元函数，的极小值要满足　　　　　　整理得到拟合曲线满足的方程：　　　　　　　　         （6.3）　　或                   　　称式（6.3）为拟合曲线的法方程。用消元法或克莱姆法则解出方程：a==　　例6.1下表为P.Sale及R.Dybdall在某处作的鱼类抽样调查，表

5、中为鱼的数量，为鱼的种类。请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数关系。131516212223252930313611101112121313121416174042556062647072100130　13142214212124172334　　　解：设拟合直线，并计算得下表：编号xyxyx21234521∑13151621221309561110111212343441431501762522644420189131692252564414841690061640　　将数据代入法方程组（6.3）中，得到：　　　　解方程得：=8.2084，=0.1795　　拟合直线为：=8.2084

6、+0.1795　　二次拟合函数　　给定数据序列，用二次多项式函数拟合这组数据。　　设，作出拟合函数与数据序列的均方误差：　　   （6.4）　　由多元函数的极值原理，的极小值满足　　整理得二次多项式函数拟合的法方程：　　　　　         （6.5）　　解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数。方程组（6.5）称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟保多项式阶时，法方程的系数矩阵是病态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。　　例6.2给定一组数据，如下表。用二次多项式函数拟合的这组数据。－3－2－101234230－1－2－5　　解：设，由计算得下

7、表：－3－2－1423－12－4－39413683－27－8－181161　0　1　2　301251　0－1－4－15－390149280－1－8－45－7　0　1　827　001168196　　将数据代入式（6.5），相应的法方程为：　　解方程得：=0.66667，=－1.39286，=－0.13095　　   ∴=0.66667－1.39286－0.13095　　拟合曲线的均方误差：=3.09524　　结果见图6.3。图6.3 拟合曲线与数据序