2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题15 导数及其应用341504

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1、1．设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x)()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx2．已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为（）A．f（x）=(x-1)3+32(x-1)B．f(x)=2x+1C．f()=2(x-1)2D．f(x)-x+33.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________.4．设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一

2、个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。5．已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间；（2）若f(x)在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。6．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。7．已知a∈R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。8．设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。（1）当m为何值时，f(x)≥0;(2)定理：

3、若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0.试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt,∵a=-t2,∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在[-1，2]因为在（-1，3）上f’(x)>0,所以f(

4、x)在[-1，2]上单调递增，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f{-1}=1+3-9-2=-7即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7。【正确解答】f’(x)=ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]令f’(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.故当整数m>1时，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。易错

5、起源1、导数的概念与运算例1．已知f(3)=2f’(3)=-2，则的值为（）A．-4B．0C．8D．不存在1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则的运用。2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。易错起源2、导数几何意义的运用例2．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。（1）讨论f(1)

6、和f(-1)是函数的极大值还是极小值。（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f’(x0)，则过此点的切线的斜率为f’(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。易错起源3、导数的应用例3．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【错解分析】上面解答有两处错

7、误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f’(x)的符号时，计算错误，∵x<10,V’>0;1036,V’>0.1．证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f’(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)>0(或f(x)<0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。2．函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值

8、，另外，f’(x)=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条