天津大学线代模拟2

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1、模拟试题2一、填空题(每小题3分，共15分)1.向量组的秩为，一个极大无关组为.2.设，则.3.设阶方阵，则的所有代数余子式之和为.4.设，均为阶方阵，为的个特征值，且存在可逆矩阵，使，则.5.设二次型是正定的，则的取值范围为.二、选择题(每小题3分，共15分)1.设矩阵与相似，则().(A)(B)(C)(D)2.设，是的一个基础解系，，则()不是的特征向量.(A)(B)(C)(D)3.设，均为阶方阵，且，则齐次线性方程组与().(A)没有相同的非零解(B)同解(C)只有相同零解(D)有相同的非零解4.设，，则下列说法不正确的是().(A)可经过初等行变换化为(B)对任意为列

2、向量，方程组必有无穷多解(C)若阶矩阵，满足，则(D)为正定矩阵5.设矩阵与相合，则必有().(A)(B)是正定矩阵(C)是的特征值(D)二次型有标准形三、(10分) 设齐次线性方程组有非零解，且三阶矩阵的三个特征值为，对应的特征向量为.试确定参数，并求矩阵.四、(8分)设，非齐次线性方程组的通解为，其中为任意常数.1.能否由线性表示？说明理由.2.能否由线性表示？说明理由.五、(8分)已知，问，取何值时，1.不能由线性表示；2.可由线性表示，并写出该表达式.六、(8分)设实线性空间的一个基为(Ⅰ)：.定义的线性变换：.1.求在基(Ⅰ)下的矩阵；2.问是否存在的基，使得在该基

3、下的矩阵为对角矩阵？并说明理由.七、(16分)设实对称，为的特征值.1.求，的值；2.求正交矩阵及对角矩阵，使得；3.二次型是否为正定二次型？八、(1题6分，2题5分，3题5分，共16分)1.设，均为阶正交方阵，为奇数，求证与至少有一个不可逆；2.设，求证的行向量组线性无关；3.设对称，的特征值全大于，的特征值全大于，求证的特征值全大于.模拟试题2答案一、填空题1.，(或，或)；2.；3.；4.；5..二、选择题1.(C)；2.(C)；3.(D)；4.(A)；5.(D).三、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为，即，得或.若，则，与是的属于不同特征值的特征向量矛盾！故.当时

4、，，显然线性无关，从而线性无关.令，则可逆，且，因此.四、由题设，知是齐次线性方程组的基础解系，则，且.1.，则可由线性表示.2.设可由线性表示，则，因此线性无关.与矛盾！故不能由线性表示.五、令，即对其增广矩阵作初等行变换，可得.当且时，，则方程组无解，此时不能由，线性表示.当时，，则方程组有唯一解，此时可由线性表示，且表示法唯一.当且时，，方程组有无穷多解，此时可由线性表示，但表示法不唯一.其中任意取值，则，其中任意常数.六、1.由的定义，有从而在基(Ⅰ)下的矩阵为.2.的全部特征值为.对于三重特征值1，有，因此不能对角化，从而不能对角化，即不存在的基，使得在该基下的矩阵

5、为对角矩阵.七、1.由对称，知.又2是的特征值，则，得.2.的特征多项式为，则.的对应于特征值的特征向量为将单位化，得正交矩阵，且八、1.由正交，知，则于是(为奇数)，即因此，故或，从而与至少有一个不可逆.2.由，知(为的列数)，因此，故的行向量组线性无关.3.实对称矩阵，的特征值全为正，则，均正定，因此也正定，故的特征值全大于.