天津大学2006～2007学年第1学期期末线代考试试卷

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1、天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共4页第1页2006～2007学年第1学期期末考试试卷《线性代数》（A卷共4页）（考试时间：2007年1月24日）题号一二三四五六七八成绩核分人签字得分一、填空与选择(30分，每小题3分)1.设三阶方阵，其中均为三维列向量.若，则___________.2.四阶方阵各元素的代数余子式之和为______.3.设，则__________________.4.设，为的伴随矩阵，则______，______.5.设，则的列向量组可由()的列向量组线性表示.(A)(B)(C)(D)6.设，则齐次线性方程组与().(A)无共同解(B)共同解只有零解(C)必

2、有共同非零解(D)同解7.设是矩阵的分别属于特征值的特征向量，而，则().(A)(B)(C)(D)8.设二维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为___________.9.实对称矩阵与()正交相似.(A)(B)(C)(D)10.元实二次型的正惯性指数为_______.二、(8分)设.1)求证是的子空间；2)求的一个基.天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共4页第2页三、(10分)设，求矩阵，其中.四、(12分)设线性方程组有解，求参数；求解线性方程组，若有无穷多解，用其特解与对应齐次线性方程组的基础解系联合表出通解.天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共4页第

3、3页五、(10分)设是实数域上的以可微函数组为基的三维线性空间.1)求微分运算在基下的矩阵；2)问是否存在的某个基，使得线性变换在该基下的矩阵为对角矩阵?必须说明理由.六、(10分)设为三阶实对称矩阵，，而是的属于特征值的特征向量，是的属于特征值的特征向量，求参数与矩阵.天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共4页第4页七、(16分)求正交矩阵与标准形，使得二次型经过正交线性替换化为标准形.八、(4分)设均为阶正定矩阵，求证正定正定.线性代数试卷答案(06071)题号一二三四五六七八成绩得分30810121010164100一、(30分，每小题3分)填空：；；；；；.选择：ACCB

4、.二、(8=5+3分)1)显然是的非空子集.对任意，有；.从而得证.2)显然，且线性无关，因而是的一个基.三、(10分)或，其中.从而.四、(12分)增广矩阵，因而，且通解为，其中为任意常数.五、(10=6+4分)1)在基下的矩阵为.2)矩阵的全体特征值为.特征值的几何重数代数重数不能对角化.从而不能对角化.六、(10分)分三步求解.1).2)；设是的属于特征值的特征向量，则可取.3)令，则为正交矩阵，且.七、(16分)二次型的矩阵为.，因而的全体特征值为，二次型的标准形为.下面求正交线性替换矩阵.，因而是的属于特征值的特征向量，且有属于特征值的正交特征向量组.正交线性替换矩阵为.注

5、1属于特征值的标准正交特征向量组的典型取法还有：，或，或.注2属于特征值的特征向量组.八、(4分)令，则为可逆矩阵，且.因为实相合关系不改变实对称矩阵的正定性，所以正定正定都正定正定.