06长期班高等数学讲义(汪诚义)第六章97-113

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1、第六章多元函数微分学§6.1多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。例如二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。2．三元函数与n元函数空间一个点集，称为三元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微

2、分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二、二元函数的极限设的邻域内有定义，如果对任意只要则记以称当的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。值得注意：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念113若若内每一点皆连续，则称在D内连续。2．闭区域上连续函数的性质定理1（有界性定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有界定理2（最大值最小值

3、定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值定理3（介值定理）设在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若则存在（乙）典型例题一、求二元函数的定义域例1求函数的定义域解：要求又要求综合上述要求得定义域或例2求函数解：要求即函数定义域D在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点）113二、有关二元复合函数例1设解：设解出代入所给函数化简故例2设解：例3设解：由条件可知三、有关二元函数的极限例1讨论解：原式=而又113例2讨论解：沿原式沿例3讨论解：而用夹逼定理可知原式=0§6.2偏导数与全微分（甲）内容要点一、偏导数与全微分的概念

4、1．偏导数二元：设三元：设1132．二元函数的二阶偏导数设，，3．全微分设增量若当则称可微，而全微分定义：定理：可微情况下，三元函数全微分4．相互关系连续存在5．方向导数与梯度（数学一）二、复合函数微分法——锁链公式模型I.设则；模型II.设则，113模型III.设则思考题：设求的锁链公式，并画出变量之间关系图.三、隐函数微分法设则四、几何应用（数学一）1．空间曲面上一点处的切平面和法线曲面F（x,y,z）=0在点处的切平面为法线为2．空间曲线上一点处的切线和法平面曲线在点处切线为法平面为（乙）典型例题例1求的偏导数113解，例2设有连续的一阶偏导数，又

5、函数分别由下列两式确定解由解出由解出所以例3设所确定的函数，其中f具有一阶连续导数，F具有一阶连续偏导数求解分别在两方程两边对x求导得解出例4设解一：令,113解二：在解出代入合并化简也得例5设具有二阶连续偏导数，且满足uxfvy解：而；代入上式113故：所以：例6已知均有连续编导数，求证证：根据隐函数求导公式则得例7设解：对113例8设函数u=f(x,y)具有二阶连续导数，且满足等式，确定的值，使等式在变换下化简为解：由多元复合函数的锁链公式于是则这样得到两组解和§6.3多元函数的极值和最值113（甲）内容要点一、求第一步第二步进一步二、求多元（）函数

6、条件极值的拉格朗日乘子法求约束条件求出是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。三、多元函数的最值问题（略）（乙）典型例题113一、普通极值例1求函数的极值解要求故知由此解得三个驻点又在点（1，1）处极小值在点（-1，-1）处极小值在点（0，0）处这时取而取不是极值点例2确定的函数，求113的极值点和极值。解因为每一项对x求导，z看作x，y的函数，得（1）每一项对y求导，z看作x，y的函数，得（2）令故将上式代入，可得把（1）的每一项再对x求导，z和看作x,y的函数，得把（1）的每一项再对y求导，z和看作

7、x,y的函数，得把（2）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得所以故，极小值为113类似地，由可知，极大值为二、条件极值问题例1求函数u=xy+2yz在约束条件下的最大值和最小值。解：用拉格朗日乘子法，作辅助函数（1）（2）（3）（4）由（1）（2）（3）解出令则z=2t,得，代入（4）则,解出和（注：此题已肯定有最大值和最小值，而满足必要条件各只有一个，因此结论成立）例2在椭球面第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求P点坐标。解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为切平面：113所以四面体的体积约

8、束条件用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得则将（5）分别代入（1），（2），（