08高等数学讲义长期班(汪诚义)第八章138-162

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1、第八章无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种第二种第三种设则这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。1)什么是无穷多项相加？如何考虑？2)无穷多项相加，是否一定有“和”？3)无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。§8.1常数项级数（甲）内容要点一、基本概念与性质1.基本概念无穷多个数依次相加所得到的表达式

2、称为数项级数（简称级数）。（）称为级数的前n项的部分和，称为部分和数列。163不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）2．基本性质（1）如果（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4）级数（注：引言中提到的级数，因此收敛级数的必要条件不满

3、足，发散。调和级数满足却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。）3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）当时，收敛当时，发散163（2）p一级数当p>1时，收敛，当p1时发散（注：p>1时，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知）二、正项级数敛散性的判别法则称为正项级数，这时是单调增加数列，它是否收敛就只取决于是否有上界，因此有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1.比较判别法收敛，则收敛；如果发散，则发散。2.比较判别法的极限形式设若1)当0

4、时收敛或同时发散。2)当A=0时，若收敛，则收敛。3)当A=+时，若收敛，则收敛。1633．比值判别法（达朗倍尔）设>0，而1）当<1时，则收敛2）当>1时(包括=+)，则发散3）当=1时，此判别法无效（注：如果不存在时，此判别法也无法用）4．根值判别法（柯西）（数学三不考）设0，而1）当<1时，则收敛2）当>1时(包括=+)，则发散3）当=1时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，

5、但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法1．交错级数概念若>0,称为交错级数。2．莱布尼兹判别法设交错级数满足：1）1632)=0，则收敛，且0<<四、绝对收敛与条件收敛1．定理若收敛，则一定收敛；反之不然。2．定义若收敛，则称为绝对收敛；若收敛，而发散，则称为条件收敛。3．有关性质1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即（+）或（—）一定是发散的。4．一类重要的级数设1）当>1时，是绝对收敛的2）当0<

6、1时，是条件收敛的3）当0时，是发散的（甲）典型例题一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。1631）2）1）解：的=1，收敛2）解：①②①-②得=3=3，收敛例2设数列收敛证：由题意可知而=163因此，于是级数=是收敛的一、主要用判别法讨论级数的敛散性例1．设级数收敛，则收敛解：（几何平均值算术平均值）已知再用比较判别法，可知收敛例2．正项数列单调减少，且发散，问是否收敛？并说明理由。解：，由等比级数收敛和比较判别法可知收敛。例3．设（1）求的值。（2）证明：对任意正常

7、数收敛。163证明：（1）==1（2）<<收敛，由比较判别法可知收敛。例1．设有方程当>1时，级数收敛。163所以当>1时，级数收敛。§8.2幂级数（甲）内容要点一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）1．函数项级数的概念设皆定义在区间I上，则称为区间I上的函数项级数。2．收敛域设，如果常数项级数收敛，则称是函数项级数的收敛点，如果发散，则称是的发散点。函数项级数的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。3．和函数在的收敛域的每一点都有和，它与有关，因此，收敛域称为函数项级数的和函数，它的定

8、义域就是函数项级数的收敛域。二、幂级数及其收敛域1．幂级数概念称为的幂级数，称为幂级数的系数，是常数，当163时，称为的幂级数。一般讨论有关问题，作平移替换就可以得出有关的有关结论。2．幂级数的收敛域幂级数的收敛域分三种情形：（1）收敛域为，亦即对每一个皆收敛，我们称它的收敛半径（2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数皆发散，我们称它