3……线性代数方程组的解法

《3……线性代数方程组的解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章解线性方程组的直接法3.1Gauss消去法3.2三角分解法3.3向量与矩阵的范数3.4迭代法3.5方程组的状态与解的迭代改善Cholosky分解法实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值、曲线拟合、非线性方程组的Newton迭代等问题。一、引论§3.1Gauss消去法inverse(A)……………………矩阵求逆multiply(A,B)……………………矩阵乘法evalm(A&*B)……………………矩阵乘法MAPLE对线性方程组：简写：有Cramer法则：当且仅当时，方程组有唯一的解：二、Cramer

2、法则§3.1Gauss消去法但Cramer法则不能用于计算方程组的解，如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年解线性方程组的方法可以分为类：①直接法：准确可靠，理论上得到的解是精确的②迭代法：速度快，但有误差本章主要讲述消去法。二、Cramer法则§3.1Gauss消去法下面有3种方程的解可以直接求出：①、对角方程n次运算§3.1Gauss消去法三、消元法②、下三角方程（n＋1）n/2次运算§3.1Gauss消去法三、消元法③、上三角方程（n＋1）n/2次运算三、消元法§3.1Gauss消去法对方程组，作如下的变换，解不变①交换两个方程的次序②一个方

3、程的两边同时乘以一个非0的数③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程因此，对应的对增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变①交换矩阵的两行②某一行乘以一个非0的数③某一行乘以一个非0数，加到另一行消元法就是对增广矩阵作上述行变换，变为已知的3种类型之一，而后求根。三、消元法§3.1Gauss消去法四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法10分钟课堂练习行变换为上▲矩阵对角矩阵四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法10分钟课堂练习行变换为下▲矩阵对角矩阵思路首先将A化为上三角阵，再回代求解。四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法步骤如下：

4、第一步：运算量：(n-1)*(1+n)四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法运算量：(n-2)*(1+n-1)=(n-2)n第二步：四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法第k步：类似的做下去，我们有：运算量：(n－k)*(1＋n－k＋1)=(n－k)(n－k＋2)n－1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为：四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法Gauss消元法的第k步：从矩阵理论来看，相当于左乘矩阵四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法因此，整个Gauss消元法相当于左乘了一个单位下三角阵所以有L

5、为单位下三角阵，U为上三角阵因此我们可以通过2次反代过程求解方程组四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法Gauss消去因此，总的运算量为：加上解上述上三角阵的运算量(n+1)n/2，总共为：四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法计算过程中处在被除的位置，因此整个计算过程要保证它不为0所以，Gauss消元法的可行条件为：就是要求A的所有顺序主子式均不为0，即:因此，有些有解的问题，不能用Gauss消元求解另外，如果某个很小的话，会引入大的误差四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用Gauss消元法计算：

6、8个小主元可能导致计算失败。四、Gauss消元法§3.1Gauss消去法§3.1Gauss消去法五、算法及程序⑴、消元过程：⑵、回代过程：根据上三角方程求方程的根§3.1Gauss消去法五、算法及程序⑴、消元过程：MAPLE§3.1Gauss消去法五、算法及程序⑴、消元过程：假设§3.1Gauss消去法五、算法及程序⑵、回代过程：回代过程也可以视为消元过程§3.1Gauss消去法五、算法及程序太麻烦了在Gauss消去法中，如果主元为零，无法完成消元。在Gauss消元第k步之前，做如下的事情：若交换k行和j行行的交换，不改变方程组的解，同时又有效地克服了Gauss

7、消元的缺陷例：一、列主元消元法交换行，将每一列绝对值最大的元素调整到主对角线上去。§3.1.3列主元消去法二、列主元消元法……例题§3.1.3列主元消去法交换1、3交换2、3消元消元回代二、列主元消元法……例题§3.1.3列主元消去法整数计溢出将在Gauss消元第k步，变为:将该行上三角地部分也变为0最后变为一个对角阵。它地运算次数比Gauss消元多。使用于计算多个系数一样地方程组，如X，B均为矩阵一、Gauss-Jordan消元法§3.1.4Gauss-Jordan消去法将增广矩阵变成一个对角矩阵。二、Gauss-Jordan消元法……例题§3.1.4Gau

8、ss-Jordan消去法