4.3任意角的三角函数(一) (2)

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1、4.3任意角的三角函数(一)yyyy年M月d日星期教学目标：1.理解并掌握任意角三角函数的定义.2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.教学重点：任意角三角函数的定义.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.一、复习引入：在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:bacα前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.二、新课教学：对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1.定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于

2、原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离是比值叫做α的正弦记作：比值叫做α的余弦记作：比值叫做α的正切记作：比值叫做α的余切记作：比值叫做α的正割记作：比值叫做α的余割记作：比值叫做α的正弦记作：根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即(k∈Z)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tanα、secα无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标ｙ都为0，所以cotα、cscα无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正

3、切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）三角函数是以实数为自变量的函数2：几个问题：①角α是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。②实际上，如果终边在坐标轴上，除tanα、secα与cotα、cscα外，上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”为函数值的函数④r﹥0而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.3：定义域：4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边

4、都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.(3)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定

5、义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.5.三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线．当角α的终边不在坐标轴上时，我们把MP,OM,AT都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：yxoMPATα的终边yxOyxOyxOyxOPPPPTTTTAAAAMMMM当角　的终边在　轴上时，正弦线、正切线分别变

6、成一个点；这几条与单位圆有关的有向线段叫做角　的正弦线、余弦线、正切线．当角　的终边在　轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．深刻理解三角函数线的定义，定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角“的三角函数线的画法及角α的三角函数的函数值，体现了数形结合思想，以“形”说“数”．三、例题解析：例1已知角α的终边经过点P(2，-3)(如图)，求α的六个三角函数值.解：∵x＝2，ｙ＝－3∴于是`分　　　，　　　两种情形讨论．求　的六个三角函数值呢？若将　　　　改为　　　　　　　　，如何变式：a﹥0时：a﹤0时：例2求下列各角的六个三角函数值.(1)0(2)π(3)(4)解：(

7、1)因为当α＝0时，x＝ｒ，ｙ＝0，所以sin0=0cos0=1tan0=0cot0不存在sec0=1csc0不存在(2)因为当α＝π时，x＝－ｒ，ｙ＝0，所以sinπ＝0cosπ＝－1tanπ＝0cotπ不存在secπ＝－1cscπ不存在(3)因为当时，x＝0，ｙ＝－ｒ，所以不存在不存在(4)当=时,所以sin=1cos=0tan不存在cot=0sec不存在csc=1例3⑴已知角