4.3 任意角的三角函数(一)

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1、高中数学教案第三章三角函数（第5课时）课题：4.3任意角的三角函数（一）教学目标：1.理解并掌握任意角三角函数的定义.2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.教学重点：任意角三角函数的定义.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：   通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解.通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较

2、深刻的认识，达到突破难点之目的.使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学过程：一、复习引入：1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.二、讲解新课：对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距

3、离2．比值叫做的正弦记作：第6页（共6页）高中数学教案第三章三角函数（第5课时）比值叫做的余弦记作：比值叫做的正切记作：比值叫做的余切记作：比值叫做的正割记作：比值叫做的余割记作：根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即＝ｋπ（ｋ∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标ｙ都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割

4、、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”为函数值的函数④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：对于正弦函数，因为ｒ＞0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数，因为x＝0时，无意义，即tan无

5、意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x第6页（共6页）高中数学教案第三章三角函数（第5课时）＝0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是.从而有4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终

6、边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标.(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直

7、角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.三、讲解范例：例1已知角的终边经过点P(2，－3)(如图)，求的六个三角函数值.解：∵x＝2，ｙ＝－3∴于是第6页（共6页）高中数学教案第三章三角函数（第5课时）例2求下列各角的六个三角函数值.(1)0(2)π(3)(4)解：(1)因为当＝0时，x＝ｒ，ｙ＝0，所以sin0=0cos0=1tan0=0cot0不存在sec0=1csc0不存在(2)因为当＝π时，x＝－ｒ，ｙ＝0，所以sinπ＝0cosπ＝－1ta