3.3电子在库仑场中的运动

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1、§3.3电子在库仑场中的运动1.有心力场下的SchrÖdinger方程2.求解SchrÖdinger方程3.归一化系数4.总结(2)体系Hamilton量(3)Schrodinger方程1.有心力场下的Schrodinger方程(1)模型一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为μ，电荷为-e，核电荷为+Ze。取核在坐标原点，电子受核电的吸引势能：xz球坐标ry对于势能只与r有关而与θ,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便(4)球坐标下的方程2.求解Schrodinger方程（1）分离变量化简方程令ψ(r,θ,)=R(r)Y(θ,)方程左面为r的函数，右面为角度的

2、函数，他们应该等于常数λ，得：径向方程于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。令代入径向方程得：由上节内容知道，λ=(+1)，=0，1，2，3，…..E>0时，对波函数没任何限制，能量组成连续谱，电子可以离开核而运动到无限远处（电离）。不属于在有心力场中运动的情况。此处讨论E<0情况，方程可改写如下：令2则（2）求解(I)解的渐近行为有限性条件要求A'=0ρ→∞时，方程变为尝试解所以，ρ→0时r→0，，这是ρ→0时的渐近行为(II)f（ρ）级数解把第一个求和号中ν=0项单独写出ρ→0时r→0，令ν'=ν-1第一个求和改为再将标号ν'改用ν后

3、与第二项合并，代回上式得：[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)-(+1)=0s=+1上式之和恒等于零，所以ρ得各次幂得系数分别等于零，即s=-不满足s≥1条件，舍去。高阶项系数注意到s=+1得系数bν的递推关系(Ⅲ)有限性条件ρ→0时，R(r)有限已由s=+1条件所保证。ρ→∞时，f(ρ)的收敛性？与讨论谐振子类似，为讨论f(ρ)的收敛性，考察级数后项系数与前项系数之比：再比较eρ的级数展开前后项系数比可见若f(ρ)是无穷级数，则波函数R不满足有限性条件，必须把级数从某项起截断。设最高幂次项的νmax=nr所以讨论波函数的收敛性可以用eρ代替f(ρ)此时多

4、项式最高项的幂次为nr++1递推关系β=n微分形式径向波函数则径向波函数总波函数利用拉盖尔多项式的微分形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：从而系数b0也就确定了3.归一化系数前几个径向波函数Rnl表达式（1）本征值和本征函数4.总结（2）能级简并性能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,,m有关，故能级存在简并。当n确定后，=n-nr-1，所以最大值为n-1。当确定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1个值。所以对于En能级的简并度为：n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...即对能量本征值En有n2个本

5、征函数与之对应，即有n2个量子态的能量都是En。n=1对应于能量最小，称为基态。能量E1=μZ2e4/22，相应基态波函数是ψ100=R10Y00，所以基态是非简并态。（3）基态