2013届高三数学中档题训练3

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1、2013届高三数学中档题训练3一．填空题1.已知集合，，则___　　．2．若五个数的平均数为1，则这五个数的方差等于__________________.．3．设是实数,且是实数,则=．4．设n为正整数，，计算得，，，，观察上述结果，可推测一般的结论为．5．若是奇函数，则实数6．已知函数的图象如上图所示，则=．7．设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是8．在中，，则的长等于_______.9．定义在区间上的函数y=8sinx的图像与y=3tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=2cosx的图像交于点P2,则

2、线段P1P2的长为__10．已知，，则等于11．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥的体积为12．在中，若，则=13．若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则直线斜率的取值范围是14．在中，角A,B,C所对应的边分别是a，b，c，已知，给出下列结论①的边长可以组成等差数列④若b+c=8，则的面积是其中正确的结论序号是．二．解答题15．已知向量，其中且，（1）当为何值时，；（2）解关于x的不等式16．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，，(1)求证：A1B∥平面ADC1．（2）求点到平面的距离。1

3、7.已知圆C在x轴上的截距为和3，在y轴上的一个截距为1．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．18.已知函数（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）对任意给定的正实数，曲线y=f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案（1）（2）2（3）（4）（5）10（6）（7）（8）1或3（9）（11）（12）3（13）（14）①②④15、解：（1）因为,…………………………………………2分得，即.…………………………………………4分所以，即，∴当时，

4、.………………………6分（2）∵，∴，.所以，即.…………………………………………10分当时，，当时，.综上，当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为.……………………14分16（2）17．（2）30或90度18.解：（Ⅰ）因为f(x)=①当-1≤x＜1时，f′(x)=-x(3x-2)，解f′(x)＞0得0＜x＜：解f′(x)＜0得-1＜x＜0或＜x＜1∴f(x)在（-1，0）和（，1）上单减，在（0，）上单增，从而f(x)在x=处取得极大值f()=…………………………………（3分）又∵f(-1)=2，f(1)=0，∴f(x)在［-1，1)上的最大值为2.………………………………………

5、………（4分）②当1≤x≤e时，f(x)=alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在［1，e］单调递增；∴f(x)在［1，e］上的最大值为a.………………………………………………（6分）∴当a≥2时，f(x)在［-1，e］上的最大值为a；当a＜2时，f(x)在［-1，e］上的最大值为2.…………………………………（8分）（Ⅱ）假设曲线y=f(x)上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t,f(t)）(t＞0),则Q（-t，t3+t2），且t≠1…………………………………（9分）∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形∴=0，即-t2+f(t)（t3+t2

6、）=0（*）……………………………（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）是否有解.①若0＜t＜1，则f(x)=-t3+t2，代入方程（*）得：-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，即：t4-t2+1=0，而此方程无实数解，……………………………………………（11分）②当t＞1时，∴f(t)=alnt，代入方程（*）得：-t2+alnt·（t3+t2）=0，即：…………………………………………………………（12分）设h(x)=(x+1)lnx(x≥1),则h′(x)=lnx++1＞0在［1,+∞)恒成立.∴h(x)在［1,+∞)上单调递增，从而h(x)≥h(1)=0，则h(x)的值

7、域为［0,+∞).∴当a＞0时，方程=（t+1）lnt有解，即方程（*）有解.……………（13分）∴对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上.…………………（14分）