2012年浙江省高中数学竞赛预测试题

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1、2012年浙江省高中数学竞赛预测试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）1．已知集合，则下列正确的是（）A．B.C.D.解：因为，所以有正确答案为A。2．当时，，则下列大小关系正确的是（）A．B.C.D.解：当时，，，。又因为。所以。选C。3．设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（）A．；B.；C.；D.解：函数

2、的定义域为。当时，应有，即；当时，应有，即。因此，选B。4．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则△ABC一定为()A．直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。因此选D。5．已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是（）A．B.2C.D.4解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则。因此选A。6．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周

3、）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（）A.B.C.3D.解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0),B(0,1,0),,，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。因此选B。7.若在复平面上三个点构成以Ａ为直角顶点的等腰直角三角形，其中，则△ＡＢＣ的面积为（）A.B.C.1D.解：依题意，，。△ＡＢＣ的面积为。应选Ａ。8.在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（）A.4B.8C.16D.32解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1）

4、，（1，—1），（1，1）满足，即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为A。9.已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（）A.BC.D.解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。10.设有算法如下：如果输入A=144,B=39,则输出的结果是（B）A.144B.3C.0D.12解答B（1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答

5、案填入题干后的横线上，每空7分，满分49分）11.满足方程所有实数解为。解答变形得，解得。12.函数的最小正周期为.解答。13.设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为.14.直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为__。解答：因为平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为。15．设为实数，则_____4________。解答：16.马路上有编号为1

6、，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。（用组合数符号表示）17.设，。当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为0或q.解答因为函数为偶函数，由对称性以及图象知道，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18.设数列，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010

7、个值为1的项的序号是多少.解（1）将数列分组：因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为。---------10分（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。------------17分19.已知抛物线和点。过点任作直线，交抛物线于B,C两点。（１）求△ＡＢＣ的重心轨

8、迹方程，并表示成形式；（２）若数列，，满足。试证：。解：（１）设过的直线方程为。又设，，联立方程组，消去，得。从而有，，。…………5分设△ＡＢＣ的重心坐标为，则　　　　消去ｋ，即得　。…………10分（２）因为，，所以，上式右边等号成立当且仅当。假设，则，…………15分上式右边等号成立当且仅当。由此得到（）。从而有。20.已知椭圆，以（0，1）为