2012届高考数学知识要点复数

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1、课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。三．教学过程：（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）i·i·i·i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律（1）Arg（z·z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nArgz（n∈N）…，n1。或z∈R。要条件是

2、z

3、＝

4、a

5、。（6）z·z≠0，则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一

6、元n次方程的虚根成对共轭出现。5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式

7、

8、z

9、

10、z

11、

12、≤

13、z±z

14、≤

15、z

16、+

17、z

18、的运用。即

19、z±z

20、≤

21、z

22、+

23、z

24、等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。

25、z±z

26、≥

27、z

28、

29、z

30、等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.（2004高考数学试题（浙江卷，6））已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且是实数，则实数t=()A．B．C．-D．-2.(2004年北京春季卷，2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.(20

31、04年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是(C)A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式，正面求解。解法一、设z＝x＋yi（x，y∈R），原方程即为用复数相等的定义得：∴=1，=1+3i.两边取模，得：代入①式得原方程的解是=1，=1+3i.【例2】（1993·全国·理）设复数z=cosθ＋

32、isinθ（0＜【解】∵z＝cosθ+isinθ=cos4θ＋isin4θ即，又∵0＜θ＜π，当时，或【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。【例3】设a，b，x，y∈R+，且（r＞0），求证：分析令=ax+byi，==bx+ayi（a，b，x，y∈R+），则问题化归为证明：

33、

34、+

35、

36、≥r（a+b）。证明设=ax+byi，=bx＋ayi（a，b，x，y∈R+），则=

37、（a+b）x+（a＋b）yi

38、=

39、（a＋b）（x+yi）

40、＝（a＋b）·r。解如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：即（x3a+yi）·（i）＝（x3a+yi）由复数相等的定义得而点（x，y）在双曲线上，可

41、知点P的轨迹方程为【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。2．分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。【例5】（1990·全国·理）设a≥0，在复数集C中解方程z＋2

42、z

43、=a。分析一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z＋2

44、z

45、=a转化为z=a2

46、z

47、，则z∈R。从而z为实数或为纯虚数，

48、这样再分别求解就方便了。总之，是一个需要讨论的问题。【解】解法一∵z=a2

49、z

50、∈R，∴z为实数或纯虚数。∴问题可分为两种情况：（1）若z∈R，则原方程即为

51、z

52、+2

53、z

54、a=0，（2）若z为纯虚数，设z=yi（y∈R且y≠0），则原方程即为

55、y

56、2

57、y

58、＋a=0当a=0时，

59、y

60、=2即z=±2i。当0＜a≤1时，当a＞1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。综上所述，原方程：当a=0时，解为z＝0或z=±2i解法二设z=x＋yi，x，y∈R，将原方程转化为3．数形结合思想数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它

61、的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。【例6】已知

62、z

63、=1，且z+z＝1，求z。【解】由z+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z，z，1所对应的三点A，B，C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示，【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。【例7】复平面内点A对应复数z，点B对应复数为，O为原点，△AOB是面积为的直角三角形，argz∈(0，)，求复数z的值．【分析】哪一个角为直角