2011绵阳市二诊理数答案

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1、绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ADCDBACDCBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．{x︱0＜x＜3}14．（）或15．1216．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解（Ⅰ）∵，，，∴a－2bsinA=0，由正弦定理得sinA－2sinBsinA=0．……………………3分∵0＜A，B，C＜p，∴，得或．……………………6分（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，∴，，于是==．……………………9分由及0＜C＜，得．结合0＜A＜，∴，得，∴，即．……………………12分

2、18．解连结BP，由已知得∠APB=45°．……………………2分设P（x，y），则，，由PA到PB的角为45°，得，化简得x2+（y－1）2=2．……………………10分由已知，y＞0且＞0，故点P的轨迹方程为x2+（y－1）2=2（x＞－1，y＞0）．……………………12分法二连结BP，由已知可得∠APB=45°，∴点P在以AB为弦，所对圆周角为45°的圆上．高三数学（理科）答案第4页（共4页）设该圆的圆心为D，则点D在弦AB的中垂线上，即y轴上，且∠ADB=90°，∴D（0，1），︱DA︱=，圆D的方程为x2+（y－1）2=2．由已知，当点C趋近于点B时，点P趋近于点B；当点C

3、趋近于点A时，点P趋近于点（－1，2），所以点P的轨迹方程为x2+（y－1）2=2（x＞－1，y＞0）．19．解（Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A，则．……………………5分（Ⅱ）x的可能值为0，1000，2000．……………………7分，，．……………………10分x010002000P所以．……………………12分答：略．20．解（Ⅰ）∵h(x)=f(x)－g(x)=+6x－3lnx（x＞0），∴．……………………2分∵函数h(x)有两个极值点，∴方程，即ax2+2x－1=0应有两个不同的正数根，于是Þ－1＜a＜0．……………………6分（Ⅱ）方程g(x)=xf′(x)－3（

4、2a+1）x即为－6x+3lnx=3ax2－3（2a+1）x，等价于方程ax2+（1－2a）x－lnx=0．设H（x）=ax2+（1－2a）x－lnx，转化为关于函数H（x）在区间（0，+∞）内的零点问题（即函数H（x）图象与x轴有无交点的问题）．……………………8分∵H′(x)=2ax+（1－2a）－，且a＞0，x＞0，则当x∈（0，1）时，H′(x)＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′(x)＞0，H（x）是增函数．……………………10分因为x®0（或者x®+∞）时，H（x）®+∞，∴要使H（x）图象与x轴有无交点，只需高三数学（理科）答案第4页（共4页）H（x）

5、min=H（1）=a+（1－2a）=1－a＞0，结合a＞0得0＜a＜1，为所求．……………………12分21．解（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），则，．由，即，得．于是a2=b2+c2=21+7=28，椭圆C的方程为．…………………5分（2）若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x=y代入中，得，则点P（，），Q（，），于是点O到l的距离为．……………………7分若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标是方程组的两个实数解，消去y，整理，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2－84=0，∴

6、△=（8km）2－4（3+4k2）（4m2－84）=12（28k2－m2+21）＞0，①，．②……………………9分∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ=－1，即，x1x2+y1y2=0．于是x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．③将x1+x2，x1x2代入上式，得，∴（k2+1）（4m2－84）－8k2m2+m2（4k2+3）=0，化简，得m2=12（k2+1）．④④代入①满足，因此原点O到直线l的距离．……………………12分22．解设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}公比为q．（Ⅰ）∵，∴，而a1=b1=1，则q（2+

7、d）=12．①又∵b2是a1，a3的等差中项，∴a1+a3=2b2，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②联立①，②，解得或……………………4分所以an=1+（n－1）·2=2n－1，bn=3n－1；或an=1+（n－1）·（－5）=6－5n，bn=（－4）n－1．……………………6分高三数学（理科）答案第4页（共4页）（Ⅱ）∵an∈N*，，∴，即qd=32．①……………………8分由（Ⅰ）知q(2+d)=12，得．②∵a1=1，an∈N*，∴d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也