19章角平分线

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1、角平分线汇泉学校李丽请在纸上画一个角，你能不利用工具很快将这个角分成两个相等的角吗？你有什么办法？AOBC再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）情境问题一、请用尺规作∠AOB角平分线ＯＣ（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．（3）作射线ＯＣ．则射线OC即为所作。ABOMNC探究体验(１)以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分∠AOB.证明：连接CM，CN在△OMC和△ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MO

2、C=∠NOC即：OC平分∠AOBABMNCO探究体验还记得角平分线上的点具有什么性质吗？(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？得出:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.二、证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=900在△PDO和△PEO中,∵∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，

3、PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE（2）证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PEPAOBCED12(3)得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。1、判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.()（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.()AOBPEF图2AOBPEF图1随堂练习××2、如图，在Rt△ABC中，做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?思考角平分线的性质，为我们证明两条线段相等又提供了新的方

4、法与途径。ABC,∠C﹦90°,BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC相等吗？D答：DE=DC。∵BD是∠ABC的平分线且DE⊥BA，∴DE=DC。为什么？DC⊥BC，3、如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点，EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求点E到OA的距离分析：点E到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。解：过E作EN⊥OA垂足为N∵E是∠AOB的角平分线上的一点，EM⊥OB，EN⊥OA，∴EM=EN又∵EM=3cm，∴EN=3cm即点E到OA的距离为3cm。EBOAC课堂练习MN3cm4、已知：OD平分∠AOB,在OA,OB

5、边上取OA﹦OB,PM⊥BD,PN⊥AD.求证：PM﹦PNOBDMNA1234P通过以上练习你有什么收获?1、定理的应用有两个条件，缺什么就求证什么。2、有“角平分线”常见的辅助线就是向角两边作垂线段。3、在证明边相等的问题时可以不用证明全等而直接用该定理，该定理为我们证明边相等提供了思路。已知：如图,P为角内一点且PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt△PDO与Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900∵PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌Rt△PDO(HL)∴∠1=∠2即点P

6、在∠AOB的平分线上角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。逆命题在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.三、证明：过点O、P作射线OC符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上ED得到角平分线的判定定理在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.POBAACBEDPMHK如图，在△ABC的顶点B的外角的平分线BD与顶点C的外角的平分线CE相交于点P．求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等．证明：过点P作PM、PK、PH分别垂直于AB、BC、AC，垂足为M、K、H。∵BD平分∠CBM∴PK＝PM同理PK＝PH∴PK

7、＝PM＝PH即点P到三边AB、BC、AC的距离相等若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？感悟与收获2.通过本节课的学习，你有什么收获？1.本节课我们学习了哪些知识？2.课外作业：已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上.FABCPN作业1.书面作业：习题19.4第4题