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1、2007年高考“导数”题1．(全国Ⅰ)设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．（Ⅱ）令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．2．(全国II)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．解：已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。已知函数．（
2、1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．解：（1）求函数的导数；．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．3．（北京卷）4．（天津卷）已知函数
3、R)，其中R.(I)当时，求曲线在点处的切线方程；(II)当时，求函数的单调区间与极值.解：(I)当时，又所以，曲线在点处的切线方程为即(II)由于以下分两种情况讨论.(1)当时，令得到当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.函数在处取得极小值且.函数在处取得极大值且.(1)当时，令得到.当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.函数在处取得极大值且.函数在处取得极小值且.5．(上海卷)6．（重庆卷）已知函数(x>0)在x=
4、1处取得极值–3–c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；(6分)（2）讨论函数f(x)的单调区间；(4分)（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。(3分)解：（I）由题意知，因此，从而．又对求导得．由题意，因此，解得．（II）由（I）知（），令，解得．当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．即，从而，解得或．所以的取值范围为．7．（辽宁卷）已知与是定义在上的连
5、续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（）A．0是的极大值，也是的极大值B．0是的极小值，也是的极小值C．0是的极大值，但不是的极值D．0是的极小值，但不是的极值解：根据题意和图形知当0是的极大值时，不是的极值是不可能的，选C已知函数，．（I）证明：当时，在上是增函数；（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；（III）证明：．(Ⅰ)证明：由题设得又由≥,且t＜得t＜，即＞0.由此可知，为R上的增函数.………………………3分(Ⅱ)证法一：因为＜0是为减函数的
6、充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时,＜0，即t＞在闭区间[a,b]上成立即可.因此y=在闭区间[a,b]上连续，故在闭区[a,b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时,＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.…………………………………………7分证法二：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时,＜0，在闭区间[a,b]上成立即可.令则＜0()当且仅当＜0().而上式成立只需即成立.取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即在闭区间
7、[a,b]上为减函数.………………………7分(Ⅲ)证法一：设易得≥.………………………9分令则易知.当x＞0时,＞0;当x＜0,＜0.故当x=0时，取最小值，.所以≥，于是对任意x、t，有≥，即≥.………………………12分证法二：设=≥，当且仅当≥0只需证明≤0，即≥1………………………9分以下同证法一.………………………12分证法三：设=，则易得当t＞时,＞0;当t＜时,＜0，故当t=时,取最小值即≥………………………9分以下同证法一.………………………12分证法四:设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y
8、=x上，令点A到直线y=x的距离为d，则≥………………………9分以下同证法一.………………………12分.8．（江苏卷）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 .解：令＝0，得：＝2，＝－2，＝17，（3）＝－1，（－2）＝24，（2）＝－8，所以，M－＝24－（－8）＝32.9．(广东卷)已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数.设，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）证
