《17.3 一元二次方程根的判别式》教案3

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1、《17.3一元二次方程根的判别式》教案教学目标1．了解根的判别式的概念．2．能用判别式判别根的情况．教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：会用判别式判定根的情况．2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．教学步骤（一）明确目标在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-

2、4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．（二）整体感知在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全

3、面性的考察起到了一个积极的渗透作用．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将其变形为（x+）=，∵4a＞0，因此对于比开方数来说，只需研究b-4ac为如下几种情况的方程的根．（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．（2

4、）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-．（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反之亦然．注意以下几个问题：（1）∵a≠0，∴4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三

5、种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是“方程无实数根”的意思．4．例：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为1

6、6y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程没有实数根．学生口答，教师板书，引导学生总结步骤：（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．练习：不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p

7、（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；（5）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；（6）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．（四）总结、扩展（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反之亦然．（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．