中学数学研究-上030909命题的否定和量词的运用

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1、资料编号6573集合与简易逻辑简易逻辑章亚林发表在上030909上属于教法、辅导、教材题为《命题的否定和量词的运用》在高中新教材中添加了“简易逻辑”板块,对培养学生的逻辑思维能力起到了一定的作用.但由于在对命题进行否定时，忽略了其中的“量词”，产生了某些认识上的偏差.下面将针对“命题的否定”作简要的分析.―、命题的否定设P是一个命题，“P不成立”即为对命题P的否定(非P).1.三种命题形式及其否定表示数量的词称为量词.表示整体的全部的叫做全称量词，常用的如“所有”、“一切”、“每一个”和“任意一个”等;表示整体的一部分的叫做存在量词，常用的如“有些”、“至少有一个”和“存在”等.根

2、据描述主项的量词，命题可分为：全称命题，其形式为“所有S是(不是)P’，其否定为“存在S不是(是)P”，即“至少有一个S不是(是)，全称量词常可省略；特称命题，其形式为“有些(存在是(不是)P”，其否定为“所有的S不是(是)P”，即“不存在S是(不是)P”.特别地，主项为特定的单个个体的命题，称为单称命题，其形式为S0是(不是)P”，其否定为“S0不是(是)P.”例1写出下列命题的否定：(1)张三是人；(2)方程—1二0的两根符号不同;(3)有些人早饭吃面包；(4)存在一个实数2；,使得+10;(5)哺乳动物是胎生的；(6)末位数字是0或5的整数，能被5整除.分析1:命题(1)、（

3、2)是单称命题,故其否定分别为“张三不是人”和“方程-1=0的两根符号相同”；命题(3)、⑷为特称命题,故其否定分别为“所有人早饭都不吃面包”和“对于任意的实数+l>0”；（5)、（6)为全称命题，故其否定分别为“有些哺乳动物不是胎生的”和“有些末位数字是0或5的整数，不能被5整除结论1:否定一个命题，应注意命题中的“量词”，在理解命题意义的前提下，判断是何种类型的命题，再加以否定.例2写出下列命题的否定：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和；(2)存在一个矩形，它的四边相等.分析2:首先，很显然(1)、（2)分别是全称命题和特称命题；其次，特别还应分别注意到“三角形的外角

4、”和“矩形的边”都具有任意性.故正确答案为：(1)存在一个三角形，它有一个外角不等于与它不相邻的两内角之和；(2)任意一个矩形，它的四条边不全相等.结论2:还要注意有的命题含有多个“量词”.2.命题“若P则Q”的否定是什么事实上，否定命题“若P则Q”，只要能否定符合条件的一种情况即可，而不是对符合条件的所有情况加以否定，亦即“若P则Q”的否定应该是“存在使P成立而Q不成立的情况”.二、若干高中数学新教材和教学参考书中问题的重新讨论1.([1]P.26例1)分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：(3)平行线不相交.解：（3)这个命题是非P的形式，其中.P:平行线相交.分析3:

5、显然，原命题“平行线不相交”是一个省略了全称量词的全称命题，故其应是“存在两条直线互相平行但相交”的否定;而“平行线相交”的否定应是“存在两平行线不相交”.2.([1]P.32例4)用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知:如图1，在圆O中，弦AB、OD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.分析：假设弦CD被P平分，连接OP后，可推出AB、都与OP垂直，则出现矛盾.证明：假设弦AB、CD被尸平分，由于.P点一定不是圆心，连结OP,根据垂径定理的推论，有：OP丄AB,丄OD,即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾.所以，弦AB、CD不被

6、P平分..分析4:首先，“求证”中的“弦AB、CD不被P平分”与“弦AB、CD不互相平分”是两回事，“求证”中的“弦AB、CD不被P平分”应改为“弦AB、CD中至少有一条不被P平分”;其次，“弦AB、CD不被P平分”的否定不是“弦AB、CD被P平分”，而是“弦AB、CD至少有一条被P平分.3.([1]P.26练习1和P.29习题1(部分小题)）分别写出由下列各组命题构成的“非P”形式的复合命题：(1)P:矩形的对角线相等；(2)P:正方形的四条边相等；(3)P:三角形的两条边的和大于第三边.([2]P.17和P.18)以上各小题相应的参考答案：(1)非P:矩形的对角线不相等；(2)

7、非P:正方形的四条边不相等；(3)非P：三角形两边之和不大于第三边.分析5:以上(1)、（2)、（3)中的命题都是省略了全称量词的全称命题，又注意到命题“内部”的“量词”，故正确答案如下：(1)非P:存在矩形，它的对角线不相等；(2)非P:存在正方形，它的四条边不全相等；(3)非P:存在三角形，它有两条边其和不大于第三边.4[3]中有以下一段叙述：“对命题P怎样否定呢？应保留其条件，否定其结论，即如果命题是‘若A则B’，那么非P是‘若A则非B’.分析6:由“一、1.”