含一个量词的命题的否定

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1、1.4.3含有一个量词的命题的否定要判定全称命题“x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.判断全称命题和特称命题真假要判定特称命题“x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可,如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,则特称命题是假命题.复习回顾:常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.常见的存在量词有“存在一个”“至少一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.探究x0∈

2、M,﹁p(x0)x0∈M,﹁p(x0)x0∈M,﹁p(x0)3)x0∈R,x02-2x0+1<0从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题.一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:全称命题的否定是特称命题.它的否定x0∈M,﹁p(x0)例1写出下列全称命题的否定:(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;(2)p:每一个四边形的四个顶点共圆;(3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.解:(1)¬p:存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)¬p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.(3)¬p:的个位数字等于3.【说明】否定时,不能

3、只是简单的否定结论,全称命题的否定变成特称命题.探究否定:1)所有实数的绝对值都不是正数;2)每一个平行四边形都不是菱形;3)x0∈M,p(x0)x0∈M,p(x0)x0∈M,p(x0)3)x0∈R,x02+1<0从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题.特称命题它的否定特称命题的否定是全称命题.x0∈M,p(x0)一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:例2写出下列特称命题的否定:(1)(2)p:有的三角形是等边三角形;(3)p:有一个素数含三个正因数.p:x0∈R,x02+2x0+2≤0解:(1)¬p:(2)¬p:所有的三角形都不是等边三

4、角形.(3)¬p:每一个素数都不含三个正因数.【说明】否定时,不能只是简单的否定结论,特称命题的否定变成全称命题.课堂练习:教材26页练习1.写出下列命题的否定,并判断真假:(1)(2)任意素数都是奇数;(3)每个指数函数都是单调函数.解:(1)$n0∈Z,n0∈Q.(2)存在一个素数,它不是奇数;(3)存在一个指数函数,它不是单调函数.2.写出下列命题的否定:(1)有些三角形是直角三角形;(2)有些梯形是等腰梯形;(3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.解:(1)所有三角形都不是直角三角形;(2)每个梯形都不是等腰梯形;(3)所有实数的绝对值都是正数.解题中会遇到省略

5、了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式.隐蔽性否定命题的确定:例3.写出下列命题的否定:(1)若x2>4,则x>2;(2)若m≥0,则x2+x-m=0有实数根;(3)可以被5整除的整数,末位是0;(4)被8整除的数能被4整除;(5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.例3.写出下列命题的否定:(1)若x2>4,则x>2;(2)若m≥0,则x2+x-m=0有实数根;(3)可以被5整除的整数,末位是0;(4)被8整除的数能被4整除;(5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.解:(1)原命题完整表述:对任

6、意的实数x,若x2>4,则x>2.它的否定:存在实数x0,满足x02>4,但x0≤2.(2)原命题完整表述:对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根.它的否定:存在非负实数m0,使x2+x-m=0无实数根.(3)原命题完整表述:所有可以被5整除的整数,末位是0;否定:存在一个可以被5整除的整数,其末位不是0;例3.写出下列命题的否定:(1)若x2>4,则x>2;(2)若m≥0,则x2+x-m=0有实数根;(3)可以被5整除的整数,末位是0;(4)被8整除的数能被4整除;(5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.解:(4)原命题完整表述:所有能被8整除的数能

7、被4整除.否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除.(5)原命题完整表述:任意四边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等.否定:存在一个四边形,它是正方形,但它的四条边中至少有两条不相等.

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